Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ c=f\left( 0\right)}\). Kładziemy kolejno:
\(\displaystyle{ y=0}\) i mamy \(\displaystyle{ f\left( f\left( x\right) \right)=f\left( x\right)+1}\)
\(\displaystyle{ x=0}\) i mamy \(\displaystyle{ f\left( y+c\right)=f\left( y\right) +1}\)
Pokażę teraz najtrudniejszą część zadania, czyli, że \(\displaystyle{ c=1}\).
Mamy z pierwszej równości:
\(\displaystyle{ f\left( f\left( y+c\right) \right)=f\left( y+c\right)+1}\)
A z drugiej i z naszego równania wyjściowego:
\(\displaystyle{ f\left( f\left( y+c\right) \right)=f\left( f\left( y\right)+1 \right) =f\left( y+1\right) +1}\)
Stąd
\(\displaystyle{ f\left( y+c\right)=f\left( y+1\right)}\)
A więc na mocy tego, że \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca, więc jest różnowartościowa (prościutki dowód) mamy:
\(\displaystyle{ y+c=y+1 \\
c=1}\)
Teraz porównujemy równości pierwszą i drugą i korzystamy z różnowartościowości \(\displaystyle{ f}\) mamy:
\(\displaystyle{ f\left( f\left( x\right) \right)=f\left( x+1\right) \Rightarrow f\left( x\right)=x+1}\).
Łatwo się przekonać, że ta funkcja jest rosnąca i spełnia nasze równanie.