Matematyka.pl

Witam, mam pewnien problem. Chciałbym żeby ktoś dobrze wyjaśnił jedną kwestię związaną z całkowaniem przez podstawianie. Załóżmy że mamy całkę:

\(\displaystyle{ \int sinx cosx dx}\)

To tylko przykład. Jedym ze sposobów na jej rozwiązanie jest podstawianie. I teraz :

\(\displaystyle{ cosx = t}\), oraz
\(\displaystyle{ sinx dx = -dt}\).

Dla czego przed dt jest \(\displaystyle{ -}\) ?

Analogicznie patrząc na przykład trudniejszy:

\(\displaystyle{ \int x sin(2x^2+1) dx}\)

\(\displaystyle{ t = 2x^2+1}\)
\(\displaystyle{ dt = 4xdx}\)

Skąd \(\displaystyle{ dt = 4xdx}\)? Na jakiej zasadzie przed \(\displaystyle{ xdx}\) jest \(\displaystyle{ 4}\)?
Z góry dzięki za odpowiedź. Pozdrawiam

różniczkowanie stronami

eee, aha...

ps. Jakby ktoś miał czas i chęć napisac jakie dzialania konkretnie wykonano w tych przykladach, bylbym wdzieczny

konkretnie - policzone pochodne

\(\displaystyle{ \int sinx cosx dx}\)

\(\displaystyle{ sinx = t}\)
Podstawiam za sinx -> t i teraz robie pochodne obu stron, czyli (sinx)' oraz (t)' Wychodzi:
\(\displaystyle{ cosxdx = dt}\)
Pamietamy, ze w momenciu rozniczkowania dx i dt pojawic sie musi.

Teraz wykorzystujemy to w calce i:
\(\displaystyle{ \int tdt \ = \ \frac{t^{2}}{2}+C \ = \ \frac{sin^{2}x}{2}+C}\)

Wytlumaczyc nie umiem. Po prostu tak to sie robi : o

Tutaj mozna to wytlumaczyc ladniej.
W calce ogolnie masz jakas funkcje zmiennej x razy rozniczka po x (bardzo mala zmiana x).
Podstawiasz nowa zmienna:
\(\displaystyle{ t=\cos x\\}\)

Teraz chcesz zauwazyc jak sie zmienia x wzgledem t, by moc podstawic nowa rozniczke. Liczymy wiec pochodna t:
\(\displaystyle{ t'=-\sin x}\)

Jak wiadomo pochodna to nic innego jak rozniczka:
\(\displaystyle{ t'=\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}}\)

Czyli ogolnie daje nam to nieco inny zapis
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}=-\sin x\\}\)

Teraz zauwazamy, ze zarowno dt jak i dx mozna traktowac jako zwykle wyrazenie, czyli obustronnie mnozymy przez dx:
\(\displaystyle{ \mbox{d}t=-\sin x\mbox{d}x}\)

I ostatecznie by moc zamienic rozniczke w calce na rozniczke dt trzeba przemnozyc stronami przez -1:
\(\displaystyle{ \sin x\mbox{d}x=-\mbox{d}t}\)

Teraz mozemy juz wstawic wszystko tak jak leci do calki

Pozdrawiam.

Wielkie dzieki, już wiem dla czego tak jest
Ja po prostu nie wiedzialem ze to trzeba obliczyc pochodna stronami.
Dzieki wam raz jeszcze.