Matematyka.pl

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ma długość 3 \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) cm, a krawędź podstawy ma długość 12cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa.

Obliczyłam pole podstawy, wyszło mi 36 \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), potem objętość, czyli V=108
Ale nie mam pomysłu jak obliczyć pole boczne?

Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa składa się z 3 przystających trójkątów równoramiennych. Obliczmy pole P jednego z nich.
Niech h oznacza długość wysokości w tym trójkącie opuszczonej do podstawy (krawędzi podstawy ostrosłupa). Ponieważ wysokość ostrosłupa jest prostopadła do jego podstawy, to z twierdzenia Pitagorasa wwynika, że \(\displaystyle{ (3\sqrt{3})^2+(\frac{12\sqrt{3}}{6})^2=h^2}\). (Odcinek łączący spodek wysokości ostrosłupa ze środkiem krawędzi podstawy ma długość równą promieniowi okręgu wpisanego w podstawę.) Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ h^2=27+12=39}\), więc \(\displaystyle{ h=\sqrt{39} cm}\). Ze wzoru na pole trójkąta mamy \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot h=6\sqrt{39} cm^2}\), czyli pole powierzchni bocznej ostrosłupa wynosi \(\displaystyle{ 3P=18\sqrt{39} cm^2}\).

a nie da się tego jakos inaczej policzyć? bez okręgów?