Matematyka.pl

liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^3+mx^2-7x+n}\).
Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu. ??????

Spróbuj tak:

Skoro 1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), to mamy równość:

\(\displaystyle{ W(1)=0\\
W'(1)=0}\)

co daje nam układ równań...... z dwoma niewiadomymi.......

I automatycznie trzeci pierwiastek już mamy.

\(\displaystyle{ x^3+mx^2-7x+n}\)

Ze wzorów Viete'a otrzymujemy:

\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=-m \\
x_1 \cdot x_2+x_2 \cdot x_3+x_1 \cdot x_3=-7 \\
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=-n}\)

Wiemy ze \(\displaystyle{ x_1=x_2=1}\) i załozmy ze \(\displaystyle{ x_3=x}\) stad mamy:

\(\displaystyle{ x=-m-2\\
2x=-8\\
x=-n}\)

Trzecim piewiastkiem jest \(\displaystyle{ x_3=-4}\)

A jakby co to \(\displaystyle{ n=4}\) i \(\displaystyle{ m=2}\)

Wszystko powinno być dobrze jezeli nie popełniłem błedu przy wzorach Viete'a

ok ale 1 podstawiam do wielomianu W(x) a skad wielomian W'(x)?
sorry ale cos tu nie czaje wiec pytam , a kto pyta nie bladzi

Niech k będzie liczbą naturalną większą od 1.

Wówczas jeżeli wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) o współczynnikach rzeczywistych ma k -krotny pierwiastek \(\displaystyle{ x_0}\), to \(\displaystyle{ x_0}\) jest pierwiastkiem pierwszej, drugiej, ... \(\displaystyle{ k-1}\) pochodnej wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\).

W naszym przypadku \(\displaystyle{ k = 2}\), zatem:

\(\displaystyle{ W'(1)=0}\)