Wartośc parametru dla funkcji z wartoscia bezwzgledna

JarTSW · Post autor: **JarTSW** » 8 lut 2009, o 18:57

Dla jakich wartosc parametru m, równanie \(\displaystyle{ |x-1|=m^2-2m+1}\) ma dwa pierwiastki dodatnie.
Prosilbym algebraicznie, a nie graficznie, bo graficznie jakos mi nie wychodzi.

pluto · Post autor: **pluto** » 8 lut 2009, o 20:21

Ja bym to zrobił tak (nie daje głowy, że dobrze):
\(\displaystyle{ |x-1|=m^2-2m+1 \\
x-1=m^2-2m+1 \ \lor \ x-1=-m^2+2m-1 \\
x=m^2-2m+2 \ \lor \ x=m(2-m)}\)
Mamy mieć dwa miejsca zerowe większe od 0 więc rozwiązujemy dwie nierówności:
\(\displaystyle{ m^2-2m+2>0 \ \land \ m(2-m)>0 \\}\)
i wychodzi
\(\displaystyle{ \begin{cases}
m \in \mathbb{R} \\
m\in(0,2)
\end{cases}}\)
czyli ostatecznie \(\displaystyle{ m\in(0,2)}\)

blost · Post autor: **blost** » 8 lut 2009, o 20:25

edit.. a sorki nie doczytalem 2 pierwiastki dodatnie

Mikolaj9 · Post autor: **Mikolaj9** » 8 lut 2009, o 20:25

\(\displaystyle{ |x-1| \in (0,1)}\)
\(\displaystyle{ 0<m ^{2}-2m+1<1}\)
Pluto, zapomniałeś o wierzchołku o wartości 0
\(\displaystyle{ m \in (0,1) \cup (1,2)}\)

pluto · Post autor: **pluto** » 8 lut 2009, o 20:36

Blost, \(\displaystyle{ m^2-2m+2}\) będzie zawsze większe od 0.

Mikolaj9, no właśnie, zapomniałem :p A Twoja metoda o wiele prostsza

blost · Post autor: **blost** » 8 lut 2009, o 20:40

nie doczytalem tresci ale w kazdym razie nie zawsze bedzie wieksze od zera x=1 ?

pluto · Post autor: **pluto** » 8 lut 2009, o 20:58

Drobne nieporozumienie - Ty piszesz o tym konkretnym przypadku a ja ogólnie o jakimś \(\displaystyle{ f(m)=m^2-2m+2}\)

W tym zadaniu jak wcześniej zostało napisane, trzeba uwzględnić ten wierzchołek bądź zrobić to tak jak Mikolaj9, co jest o wiele prostsze.

JarTSW · Post autor: **JarTSW** » 9 lut 2009, o 21:19

Rozwiazanie Mikolaja w porzadku, tylko jedna rzecz nie daje mi spokoju, skad wiem, ze |x-1| nalezy (0,1)... ?

Mikolaj9 · Post autor: **Mikolaj9** » 9 lut 2009, o 22:26

Zawsze będzie od 0 do jakiegoś n. A dwa rozwiązania dodatnie ma wtedy i tylko wtedy, kiedy dla mniejszego dodatniego x, dostaniesz '-a', a dla większego x 'a'.