Matematyka.pl

Zadanie 1.
Dowieść, że rozkład permutacji na cykle rozłączne jest jednoznaczny (z dokładnością do kolejności).
Nie obraziłbym się za jakąś wskazówkę.
Zadanie 2.
Podać rozkład poniższych permutacji na cykle rozłączne, nie wypisując ich w postaci dwuwierszowej:
\(\displaystyle{ (1,2)(3,4,5)(1,2,3)(5,1,2), \\
(3,1,4,5)(1,2,3,4)(3,1,4,2)(1,2,3)}\)
W tym przypadku ciekawi mnie metoda, bo polecenie sugeruje, że można to zrobić w sprytny sposób, na który ja oczywiście nie wpadłem. A tradycyjną metodą wyszły mi takie rozkłady (mam nadzieję, że się nie pomyliłem):
\(\displaystyle{ (1,3,4)(2,5), \\
(1,4,5,3)}\)

1. Weźmy permutację \(\displaystyle{ \tau}\) i załóżmy, że mamy dwa, istotnie różne rozkłady na cykle rozłączne tej permutacji (będę pisał nieformalnie, żeby się za bardzo nie namęczyć ). Tzn. istnieją \(\displaystyle{ a_1,a_2}\) takie, że w pierwszym rozkładzie występują w jednym cyklu, a w drugim w różnych (lub istnieją \(\displaystyle{ a_1,a_2}\) takie, że w drugim rozkładzie występują w jednym cyklu, a w pierwszym w różnych). Pamiętając o tym, że \(\displaystyle{ a,b}\) należą do jednego cyklu wtw. gdy istnieje n, że \(\displaystyle{ \tau^n(a)=b}\) i że każda permutacja jest bijekcją, można z tego wycisnąć sprzeczność

Edit: dlaczego istnieją takie \(\displaystyle{ a_1,a_2}\)? Bo gdyby nie istniały, to rozkłady byłyby identyczne.

Dzięki, to jest dla mnie jasne. Mamy rozkład, sprawdzamy, ile razy trzeba złożyć ze sobą permutację, by zachodziła zapisana przez Ciebie równość (oznaczamy jako n). Jeśli mamy inny rozkład, to składamy permutację n razy i okazuje się, że ta równość zachodzi, zatem \(\displaystyle{ a_{1} \ i \ a_{2}}\) są w jednym cyklu.

Wasilewski pisze:Dzięki, to jest dla mnie jasne. Mamy rozkład, sprawdzamy, ile razy trzeba złożyć ze sobą permutację, by zachodziła zapisana przez Ciebie równość (oznaczamy jako n). Jeśli mamy inny rozkład, to składamy permutację n razy i okazuje się, że ta równość zachodzi, zatem \(\displaystyle{ a_{1} \ i \ a_{2}}\) są w jednym cyklu.

Tak, dokładnie.

-- 8 lutego 2009, 22:12 --

A co do wyznaczonych rozkładów to wydaje mi sie, że nie są dobre, chyba, że jest tu przyjęta inna konwencja zapisu złożenia funkcji. Tzn. standardowo jest
\(\displaystyle{ fg(x)=f(g(x))}\)

A u Ciebie wygląda jakbyś przyjmował:
\(\displaystyle{ fg(x)=g(f(x))}\)

Dla przykładu dla pierwszej permutacji wyszło Ci, że 1 przechodzi na 3 (bo jest cykl \(\displaystyle{ (1,3,4,)}\)). Według zwykłej konwencji byłoby (patrzymy od prawej) \(\displaystyle{ 1\to2\to3\to4\to4}\) czyli 1 przechodzi na 4.

Coś pomyliłem i źle liczyłem. Ale fajnie, że napisałeś to w taki sposób, bo teraz już widzę metodę.