Matematyka.pl

wyznaczyć wartości własne i funkcje własne dla następującego problemu :

\(\displaystyle{ t^2x'' +4tx' + \lambda x=0 \\
x(1)=x(e)=0\\
t \in [1,e]}\)

proszę o pomoc z tym zadaniem.
czy wyznaczając całkę ogólną równania mam zrobić jakieś podstawienie by sprowadzić równanie do równania rzędu pierwszego? nie mam na to pomysły, a rozwiązywaliśmy tylko przykłady gdzie takiego problemu nie było...
z góry dziękuję za pomoc.

Szalona całko (świetny nick btw;) ), znajdź normalnie całkę ogólną tego równania (najszybciej jak się da, podst. \(\displaystyle{ x=t^r}\)), a następnie podstaw swoje rozwiązanie do warunków brzegowych. Dzięki nim wyeliminujesz jedną ze stałych i znajdziesz to co jest tu najważniejsze, tj. wartości własne \(\displaystyle{ \lambda=\lambda_n=...}\) Następnie podstawiasz te wartości do Twojej całki ogólnej i masz w garści funkcje własne \(\displaystyle{ x_n=...}\) A wartości i funkcje własne to WŁAŚNIE rozwiązanie problemu SL.

Vigl pisze:Szalona całko (świetny nick btw;) ), znajdź normalnie całkę ogólną tego równania (najszybciej jak się da, podst. \(\displaystyle{ x=t^r}\)), a następnie podstaw swoje rozwiązanie do warunków brzegowych. Dzięki nim wyeliminujesz jedną ze stałych i znajdziesz to co jest tu najważniejsze, tj. wartości własne \(\displaystyle{ \lambda=\lambda_n=...}\) Następnie podstawiasz te wartości do Twojej całki ogólnej i masz w garści funkcje własne \(\displaystyle{ x_n=...}\) A wartości i funkcje własne to WŁAŚNIE rozwiązanie problemu SL.

czyli robię zalecane podstawienie :
\(\displaystyle{ x=t^r\\ x'=rt^(r-1) \\ x''=r(r-1)t^(r-2)}\)
wszystko się pięknie upraszcza i zostaje równanie
\(\displaystyle{ r^2+3r+ \lambda =0}\)
delta tego równania to \(\displaystyle{ 9-4 \lambda}\)
czyli nic miłego... mam teraz rozważyć trzy przypadki=><0 dla delty ?
bo paskudne te rozwiązania wyjdą i nie wiem czy dobrze robię...pewnie nie
(btw. dzięki )

szalona całka pisze:mam teraz rozważyć trzy przypadki=><0 dla delty ?

W zasadzie tak. Ale zauważ, że nie będzie z tym aż takiego problemu, bo układając z tego całkę ogólną zapiszesz po prostu:
\(\displaystyle{ x(t)=At^{r_1}+Bt^{r_2}}\) dla \(\displaystyle{ \Delta\ne 0}\)
\(\displaystyle{ x(t)=At^{r_0}+Bt^{r_0}lnt}\) dla \(\displaystyle{ \Delta=0}\), więc dla \(\displaystyle{ 4\lambda=9-->\lambda=\frac{9}{4}}\)
I w istocie masz tylko jeden przypadek, który wrzucasz do warunków brzegowych.