Matematyka.pl

1)
\(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ x^2arc tg3x \mbox{d}x}\)
próbowałam ją rozgryźć przez części:
\(\displaystyle{ u=arctg3x}\)
\(\displaystyle{ dv=x^2 \mbox{d}x}\)

i niby wszystko ok, ale na końcu czegoś znowu nie widzę;)
\(\displaystyle{ \frac{x^3}{3}arctg3x - \frac{1}{9} \frac{x^2}{2} - \frac{1}{81}}\)\(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ \frac{x}{x^2+ \frac{1}{9} }}\)

no i właśnie tej ostatniej całeczki nie moge sfinalizować:P

2) z drugą jest inaczej, nie wiem kompletnie jak się za nią zabrać:
\(\displaystyle{ \frac{e ^{2x}-2e ^{x} }{1+e ^{2x} } \mbox{d}x}\)

1) \(\displaystyle{ \int \frac{x}{x^2+\frac{1}{9}}dx=\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+\frac{1}{9}}dx=\frac{1}{2} \int \frac{ \left( x^2+\frac{1}{9} \right) '}{x^2+\frac{1}{9}}dx = \frac{1}{2}\ln \left|x^2+\frac{1}{9} \right|}\)

-- 8 lutego 2009, 00:33 --

2) \(\displaystyle{ \int \frac{e ^{2x}-2e ^{x} }{1+e ^{2x} }dx = \int \frac{e^x \left( e ^{x}-2 \right)dx }{1+e ^{2x} } = ...}\)

Podstawienie: \(\displaystyle{ t=e^x \Rightarrow dt=e^xdx}\)

\(\displaystyle{ ...=\int \frac{t-2}{1+t^2}dt =\int \frac{t}{1+t^2}dt - \int \frac{2}{1+t^2}dt = \frac{1}{2} \int \frac{ \left(1+t^2 \right) '}{1+t^2}- \int \frac{2}{1+t^2}dt= \\ \\ = \frac{1}{2}\ln |1+t^2|-2\arctan t= \frac{1}{2}\ln \left| 1+e^{2x} \right|-2\arctan e^x+C}\)

wow, po 12 minutach...respekt! (ja pół godziny przepisywałam zwalmy to na późną porę) dzięki!

a moze ktoś mógłby rozpisać pełne rozwiązanie pierwszej całki?
będę bardzo wdzięczna

chodzi mi o rozpisanie \(\displaystyle{ du}\), czyli o pochodną z \(\displaystyle{ u=arctg3x}\)

mi \(\displaystyle{ \mbox{d}u}\) wyszło tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+9x^2} \cdot 3 \mbox{d}x}\)