Matematyczna Puszka Pandory

[Arczi1984]

Oto przykładowe zadania z książek, które wypisałem w dziale Matematyk w Bibliotece:

1. Gimnastyka mentalna!
GO*SIX=UP*TEN
Za każdą literą kryje się inna cyfra. Jednak aby uniknąć zakłopotania podaję, iż za O schowało się zero. Reszta należy do Ciebie!

2. Bolesna dedukcja
Potrafisz znaleźć sposób na zabranie 45 z 45 tak, aby pozostało 45?
(Can you find a way of taking 45 away from 45 so that 45 remains?)

3. Dodawanka
Zastąp literki cyframi, aby poniższe działanie było prawdziwe:
BAKED
+BEANS
_________
FIBRE

4. Vera pisze manuskrypt
Mama poprosiła Verę, aby ta napisała manuskrypt. Vera zadeklarowała: "Będę średnio pisała 20 stron dziennie."
Pierwszą część manuskryptu napisała raczej leniwie, 10 stron dziennie. Aby to naprawić podczas pisania drugiej części manuskryptu, dziennie zapisywała 30 stron.
"Widzisz, pisałam średnio 20 stron dziennie" powiedziała Vera. "Połowa 10+30, to 20."
"Nie, mylisz się" - odpowiedziała Jej mama.
Kto miał rację?

5. Równanie do rozwiązania w głowie.
6,751x + 3,249y = 26,751;
3,249x + 6,751y = 23,249.
Czy to żart? Nie, jeśli potrafisz pierwsze równanie pomnożyć przez 6,751, a drugie przez 3,249 w swojej głowie i nie, jeśli użyjesz drugiej, prostszej metody.

6. Czy istnieje taka liczba?
Czy istnieje taka liczba, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1; przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2; przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, a przy dzieleniu przez 6 daje resztę 4?

PS. W zadaniu nr 3 wkradł się mały błąd. Wszystkie 3 wyrazy są na równi z sobą, a poprzez wstawienie '+' środkowy wyraz przesunął się o jedną pozycję.

[Nakahed90]

6.

Ukryta treść:    

Aby taka liczba istniała muszą być spełnione cztery warunki
\(\displaystyle{ x\equiv 1(mod3)}\)
\(\displaystyle{ x\equiv 2(mod4)}\)
\(\displaystyle{ x\equiv 3(mod5)}\)
\(\displaystyle{ x\equiv 4(mod6)}\)
Z drugiego i czwartego warunku mamy, że liczba musi być parzysta, a z trzeciego, że ta liczba musi być nieparzysta, czyli sprzeczność, a więc taka liczba nie istnieje.

[Wasilewski]

Nakahed90

Ukryta treść:    

A co powiesz na x=58? Z trzeciego warunku nie wynika nieparzystość.

[Arczi1984]

Ukryta treść:    

Co do 3 warunku. Jest to nieprawda wystarczy wziąć 18.
Wasilewski podał poprawną odpowiedź. Jest to najmniejsza liczba spełniająca te warunki.

[Wasilewski]

4.

Ukryta treść:    

To tak samo, jakby przebyła drogę s z prędkością v, a potem taką samą drogę z prędkością 3v. Prędkość średnia to:
\(\displaystyle{ \overline{v} = \frac{2s}{ \frac{s}{v} + \frac{s}{3v}} = \frac{3v}{2} \neq 2v}\)
Ogólnie chodzi o to, że średnią prędkość jest średnią harmoniczną, a nie arytmetyczną.
Odnośnie szóstego, to wszystkie te liczby są postaci x = 60k + 58.

[Nakahed90]

6.

Ukryta treść:    

Racja Wasilewski, mój błąd.
58 jest liczbą najmniejszą, ale nie jedyną, wyznaczę teraz wszystkie liczby spełniające ten układ warunków.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv 1(mod3)\\x\equiv 2(mod4)\\x\equiv 3(mod5) \\x\equiv 4(mod6) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 20x\equiv 20(mod60)\\15x\equiv 30(mod60)\\12x\equiv 36(mod60) \\10x\equiv 40(mod60) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 20x-15x-12x+10x \equiv 20-30-36+40(mod60)}\)
\(\displaystyle{ 3x \equiv -6(mod60)}\)
\(\displaystyle{ x\equiv-2 \equiv 58 (mod60)}\)
Czyli liczba x jest postaci.
\(\displaystyle{ x=60i+58}\)

[Arczi1984]

Dwa zadania rozwiązane! Zostały jeszcze 4;) Choć muszę przyznać, że zad 2 jest dosyć specyficzne. Ogólnie zadań we wszystkich tych książkach jest ponad 1000, ja tu tylko 6 umieściłem.

[Wasilewski]

5.

Ukryta treść:    

Wystarczy zauważyć, że te współczynniki sumują się do 10. Za jedną z nich wstawiamy a:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ax + (10-a)y = 20+a \\ (10-a)x + ay = 30a-a \end{cases}}\)
I teraz można postąpić dwojako; albo od razu piszemy wynik: x=3, y=2, albo rozwiązujemy ten układ równań i w równie prosty sposób otrzymujemy ten wynik.

[Arczi1984]

Zadnie 1

Ukryta treść:    

GO*SIX=UP*TEN => 70*148=35*296

Zadanie 2

Ukryta treść:    

Najdziwniejsze z tych 6:)
Suma cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8,9 wynosi 45.
Teraz:
987654321-123456789=864197532,
a zatem rozważając sumy ich cyfr otrzymujemy:
45-45=45!

Zadanie 3

Ukryta treść:    

BAKED=45907,
BEANS=40513,
FIBRA=86420
45907+40513=86420

Jeśli chcecie mogę dorzucić kolejne zadania z tych książek.

[Nakahed90]

Dobra, dajesz kolejne.

[Arczi1984]

Kolejne 6 zadań do rozwiązania:

Zadanie 1 Okrężna inspekcja strażnika.
Pałac znanego dyktatora jest otoczony siecią dróg pokazaną na rys. W każdym węźle oznaczonym literką znajduje się posterunek strażnika. Obowiązkiem oficera na służbie, który stacjonuje w punkcie A jest to, aby każdy z tych punktów sprawdzić co godzinę i wrócić do bazy. Potrafisz znaleźć taką drogę, aby strażnik obszedł wszystkie punkty dokładnie raz podczas patrolu?


Zadanie 2 Euklides
Gdzie na ziemi możesz znaleźć trójkąt, którego każdy z wewnętrznych kątów ma 90 stopni?

Zadanie 3 Osiem gwiazd
Umieściłem jedną gwiazdę w białym kwadraciku na poniższej planszy:

Umieść kolejne 7 gwiazd w białych kwadratach tak, aby żadne dwie z 8 gwiazd nie były w jednej linii pionowej, poziome lub przekątnej.

Zadanie 4 Jak więzień da radę uciec? (*)
Podziemnie to ma 49 pomieszczeń. W 7 komórkach (od A do G na diagramie) są zamknięte drzwi (czarne paski). Klucze są odpowiednio w pomieszczeniach od a do g. Pozostałe drzwi otwierają się tylko od strony pokazanej na diagramie.
Jak więzień, który znajduje się w celni O może uciec? Może przejść przez jakiekolwiek drzwi dowolną ilość razy i nie musi otwierać drzwi w żadnym ustalonym porządku. Jego celem jest zdobycie klucza z pomieszczenia g i otworzenie drzwi w celi G, aby mógł swobodnie uciec.
[url]http://img23.imageshack.us/my.php?image=zad4mn8.png[/url]

Zadanie 5 Cudowna Sagacity
Bibliotekarz poprosił każde z czwórki dzieci, aby to wybrało w myślach czterocyfrową liczbę. "Dobrze. Teraz przenieście pierwszą cyfrę na koniec i dodajcie te dwie liczby, np 1234+2341=3575. Podajcie mi swoje wyniki."
Artur: "8612."
Basia: "4322."
Czesio: "9867."
Daria: "13859."
"Wszyscy za wyjątkiem Czesia się pomylili." Powiedział bibliotekarz.
Skąd wiedział?

Zadanie 6 Historia kryminalna
W szkole podstawowej w Nowym Jorku ktoś ukradł nauczycielce portfel. Złodziejem mogło być któreś z dzieci: Lillian, Judy, David, Theo lub Margaret.
Kiedy przepytano dzieci te udzieliły po trzy informacje:
Lillian:(1) Nie wzięłam portfela. (2) Nigdy w życiu nic nie ukradłam. (3) Zrobił to Theo.
Judy: (1) Nie wzięłam portfela. (2) Mój tata jest wystarczająco bogaty i mam swój własny portfel. (3) Margaret wie, kto to zrobił.
David:(1) Nie wziąłem portfela. (2) Nie znałem Margaret zanim się nie zapisałem do tej szkoły. (3) Zrobił to Theo.
Theo: (1) Jestem niewinny. (2) Zrobiła to Margaret. (3) Lillian skłamała mówiąc, że to ja ukradłem portfel.
Margaret: (1) Nie wzięłam portfela nauczycielki. (2) Winna jest Judy. (3) David może za mnie poręczyć ponieważ znamy się od urodzenia.
Później każde z dzieci przyznało, że 2 spośród informacji przez nich udzielonych były prawdziwe, a jedna fałszywa.
Przyjmując, że jest to prawda, które z dzieci ukradło portfel?

[Nakahed90]

Zad 1.

Ukryta treść:    

ABCDNMLKJIHGQRSTPOFEA

-- 9 lutego 2009, 19:12 --Zad 3.

Ukryta treść:    

1G(już ustawiony), 2H, 3D, 4E, 5C, 6F, 7A, 8B

[tkrass]

Zadanie 6:    

Najpierw zauważmy, że wszystkie 3 zdania Theo świadczą o tym, że nie wziął on portfela, zatem faktycznie go nie wziął. 1 i 3 muszą być zatem prawdziwe, więc wiemy, że nie zrobiła tego Margaret. Zatem 1 Margaret jest prawdziwe. David skłamał mówiąc 3, zatem musiał mówić prawdę, mówiąc 2. W takim razie Margaret kłamie w 3, a więc mówi prawdę w 2. Czyli portfel wzięła Judy, a u niej wszystko się zgadza, bo kłamie w 1, a w 2 i 3 mówi prawdę.

[*Kasia]

5:    

Liczby muszą być podzielne przez 11.

[abc666]

zadanie 2

Ukryta treść:    

biegun+2 dowolne punkty na równiku