Zadania dotyczące pierwiastków trójmianu kwadratowego.

[basia]

1) Udowodnić, że równania \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0, \ bx^2+cx+a=0, \ cx^2+ax+b=0}\) mają wspólny pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a+b+c=0}\)
2) Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są długościami boków dowolnego trójkąta, to równanie: \(\displaystyle{ b^2 \cdot x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0}\) nie ma pierwiastków

[Zlodiej]

AD 1
Mozesz sprawdzić czy aby napewno dobrze przepisałaś ?

AD 2
Równanie nie ma pierwiastków gdy \(\displaystyle{ \Delta<0}\) dlatego ją liczmy :]

\(\displaystyle{ (b^2+c^2-a^2)-4 \cdot b^2 \cdot c^2 < 0}\)
Po wymnozeniu i skróceniu mamy:
\(\displaystyle{ a^4-a^2 \cdot b^2-a^2 \cdot c^2+b^4-b^2 \cdot a^2-b^2 \cdot c^2+c^4-c^2 \cdot a^2-c^2 \cdot b^2<0}\)

Wyłacz \(\displaystyle{ a,b,c}\) przed nawias:
\(\displaystyle{ a^2 \cdot \left( a^2- \left( b^2+c^2 \right) \right) +b^2 \cdot \left( b^2- \left( a^2+c^2 \right) \right) +c^2 \cdot \left( c^2- \left( a^2+b^2 \right) \right) <0}\)

Zauwaz ze w trojkącie mamy takie cos ze \(\displaystyle{ a+b>c, \ a+c>b, \ b+c>a}\) dlatego w/w suma jest sumą liczb ujemnych. CND.

[basia]

Rzeczywiście źle przepisałam. Przepraszam za błąd