Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{x \to\ 0 } \frac{\int_{0}^{x ^{2}} (ln(cost)/t ^{2} )dt}{ x^{2}}}\)

nie wiem jak ruszyć górę tego ułamka pomoże kto?

EDIT Wersja Poprawiona:
(cos(x))/(t^2)
Wynik dość dziwny, więc czy to nie trzeba przypadkiem zrobić tak?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to\ 0 } \frac{\int_{0}^{x ^{2}} \frac{\ln(\cos t)}{t^2}dt}{ x^{2}} \stackrel{[H]}{=} \lim_{x \to\ 0 } \frac{ \frac{\ln(\cos x^2)}{x^4} \cdot 2x}{ 2x}=\lim_{x \to\ 0 } \frac{\ln(\cos x^2)}{x^4}=...=-\frac{1}{2}}\)
Warto żeby ktoś jeszcze się wypowiedział bo sam jestem ciekaw.

Całka wydaje się nieelementarna. Można by rozwinąć wyrażenie pod całką w szereg Taylora, całkować wyraz po wyrazie. Wyraz najniższego stopnia po scałkowaniu w podanych granicach to \(\displaystyle{ \frac{-x^2}{2}}\), więc granica całości w zerze będzie równa \(\displaystyle{ \frac{-1}{2}}\).
Według mnie...

lorakesz napewno nie tak... jak juz to pierwsze musisz calke policzyc...

Giewond pisze:lorakesz napewno nie tak... jak juz to pierwsze musisz calke policzyc...

Nie twierdzę, że to jest dobrze. Sam jestem ciekaw i czekam aż ktoś napisze jak to zrobić.

Można też skorzystać z reguły de l'Hospitala.

Albo bezpośrednio z twierdzenia o wartości średniej dla przedziału \(\displaystyle{ \left[0,x^2\right]}\).
Ta granica jest równa po prostu granicy
\(\displaystyle{ \lim\limits_{t \to 0} {\frac {\ln \left( \cos \left( t \right) \right) }{{t}^{2}}}}\), a to jest \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\), jak już napisał bosa-Nike.

Rozwiązanie z regułą szpitala, liczone przez lorakesza chyba też jest ok,
tylko w mianowniku coś się zgubiło, bo podstawiamy \(\displaystyle{ t^2 = x^4}\). Granica jest wtedy \(\displaystyle{ \lim {\frac {\ln \left( \cos \left( {x}^{2} \right) \right) }{{x}^{4}}}=\frac{-1}{2}}\).
Całki nie trzeba liczyć, korzystamy z ciągłości funkcji podcałkowej, istnienia i różniczkowalności pierwotnej \(\displaystyle{ G(t)}\) i różniczkujemy funkcję \(\displaystyle{ G\left(x^2\right)}\).