Matematyka.pl

Witam, za kilka dni mam kolokwium z tegoż działu, a nie mam pojęcia jak zrobić poniższe przykłady, więc bardzo proszę o wskazówki jak sobie z tym poradzić ) z góry dziękuję )

Zadanie:.
Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:
\(\displaystyle{ 1) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt[4]{n(n+1)(n+2)(n+3)} }}\)


\(\displaystyle{ 2) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ n^{2}+3cosn }{ n^{3}+n+2 }}\)


\(\displaystyle{ 3) \sum_{n=1}^{ \infty } ( \frac{n}{n+5} )^{n} \cdot \frac{n}{ n^{5}+1 }}\)


\(\displaystyle{ 4) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \sqrt{sin \frac{1}{n} }}\)


\(\displaystyle{ 5) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+(-1)^{n} }{ 2^{n} }}\)

1.
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[4]{n(n+1)(n+2)(n+3)}}\ge \frac{1}{\sqrt[4]{(n+3)^4}}=\frac{1}{n+3}}\)
3.
\(\displaystyle{ (\frac{n}{n+5})^n \cdot \frac{n}{n^5+1}\le 1\cdot \frac{n}{n^5}=\frac{1}{n^4}}\)
4.
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sqrt{\sin\frac{1}{n}}\le \frac{1}{n}\sqrt{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n\sqrt{n}}}\)