Matematyka.pl

pisze ten topic jeszcze raz ostatnim razem gdzies go wyrombalo...

1. Pokazac ze dla kazdego naturalnego \(\displaystyle{ 561|a^{561}-a}\).

2. Znalezc wszystkie takie liczby pierwsze p, ze \(\displaystyle{ 4p^2+1}\) i \(\displaystyle{ 6p^2+1}\) sa rowniez liczbami pierwszymi.

3. Niech p, q,r beda liczbami pierwszymi, wiemy, ze \(\displaystyle{ p|qr-1}\), \(\displaystyle{ q|pr-1}\) i \(\displaystyle{ r|pq-1}\). Wyznaczyc wszystkie mozliwe wartosci \(\displaystyle{ pqr}\).

i jeszcze znalazlem takie:

4. p jest nieparzysta liczba pierwsza. Niech a, b, c, d beda liczbami calkowitymi niepodzielnymi przez p, takimi, ze {na/p}+{nb/p}+{nc/p}+{nd/p}=2 dla dowolnego n niepodzielnego przez p. udowdnic, ze istnieja przynajmniej dwie pary sposrod a, b, c, d takie ze ich suma jest podzielna przez p.

rozstrzal trudnosci tych zadan jest dosc duzy (szczegolnie miedzy pierwszymi trzema i czwartym)

1.Poniewaz \(\displaystyle{ 561=3*11*17}\) wystarczy pokazac, ze \(\displaystyle{ a^561-a}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 3, 11, 17}\). Mozemy tez zalozyc, ze \(\displaystyle{ a}\) nie dzieli sie przez zadna z tych liczb, poniewaz te liczby sa pierwsze musimy wtedy dowiesc, ze \(\displaystyle{ a^560-1}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 3, 11, 17}\). Podzielnosc przez 3 jest prosta, kwadrat liczby naturalnej w dzieleniu przez 3 daje reszte 1. Do podzielnosci przez 11 uzyjemy Malego Twierdzenia Fermata. Wiadomo, ze:
\(\displaystyle{ 11|a^{10}-1}\)
czyli inaczej
\(\displaystyle{ a^{10} \equiv 1 mod 11}\)
a wiec rowniez
\(\displaystyle{ a^{560} \equiv 1 mod 11}\)
Dla 17 sprawa ma sie identycznie bo 17|560.

2. Modulo 5, nie chce mi sie pisac : P.

3. To jest najciekawsze z tych trzech zdecydowanie, ale moje rozwiazanie jest brzydkie (o ile sie nigdzie nie pomylilem i jest w ogole poprawne).

Niech \(\displaystyle{ qr-1=pa, pq-1=rb, pr-1=qc}\). Zauwazmy po pierwsze, ze \(\displaystyle{ p, q, r}\) sa rozne. Teraz, niech bez straty ogolnosci \(\displaystyle{ p}\) bedzie najmniejsza z nich. Po odrobinie prostej algebry latwo otrzymujemy rownosci:
\(\displaystyle{ r(p^2-bc)=p+c}\) *
\(\displaystyle{ q(p^2-bc)=p+b}\)
Z ktorejkolwiek z tych rownosci widzimy, ze musi byc \(\displaystyle{ p^2-bc > 0}\), gdyz prawa strona w tych rownosciach jest dodatnia. Oznacza to, ze zachodzi przynajmniej jedna z nierownosci: \(\displaystyle{ p q b}\) lub \(\displaystyle{ p q c}\). Niech wiec, np. \(\displaystyle{ p q c}\). Zalozmy tez na razie, ze \(\displaystyle{ p^2-bc q 2}\). Mamy wtedy (ze wzgledu na minimalnosc p):
\(\displaystyle{ p+c q 2p < 2r q (p^2-bc)r}\)
czyli sprzecznosc. Stad \(\displaystyle{ p^2-bc=1}\), czyli tez (z rownosci *):
\(\displaystyle{ r = p+c}\)
\(\displaystyle{ q = p+b}\)
Wstawiajac to wszystko do rownania \(\displaystyle{ qr-1 = pa}\) oraz pamietajac o tym, ze \(\displaystyle{ p^2 = bc + 1}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ p(2p+b+c-a)=2}\)
Czyli \(\displaystyle{ p|2}\) a poniewaz p jest pierwsze to \(\displaystyle{ p=2}\). Dalej juz bardzo latwo otrzymac, ze pozostale 2 liczby to 3 i 5. Uwalniajac sie od zalozenia co do minimalnosci \(\displaystyle{ p}\) otrzymujemy, ze odpowiedz to \(\displaystyle{ (p, q, r) = (2, 3, 5)}\) i permutacje.

popraw tresc czwartego, bo teraz w ogole nie wiadomo o co chodzi

3) troche inaczej prosciej:
bez straty ogolnosci: \(\displaystyle{ p>q>r}\)
\(\displaystyle{ pqr|(pq-1)(qr-1)(rp-1)}\)
zatem
\(\displaystyle{ pqr|pq+qr+rp-1}\)
musi byc
\(\displaystyle{ pqr\le pq+qr+rp-1}\)

teraz dobrze? {x} - czesc ulamkowa

[ Dodano: Sob Gru 24, 2005 11:47 pm ]
zeby bylo ze tez cos zrobilem...

2. zapiszmy p w postaci: \(\displaystyle{ p=5k+r}\), gdzie \(\displaystyle{ r\in{{0,1,2,3,4}}}\)
\(\displaystyle{ a=4p^2+1}\)
\(\displaystyle{ b=6p^2+1}\)

\(\displaystyle{ a=100k^2+40kr+4r^2+1}\)
\(\displaystyle{ b=150k^2+60kr+6r^2+1}\)
rozwazamy \(\displaystyle{ p\equiv r(mod5)}\)
patrzymy jakie wartoscie modulo 5 przyjmuje a, b dla roznych r
wychodzi, ze tylko jedna liczba sposrod a, b, p jest podzielna przez 5.
p jest liczba pierwsza:
p>=2
a>5
b>5
zatem p=5
wtedy a=101 i b=151

Co do pierwszego to z tego co pamiętam to można indukcyjnie udowodnić że
\(\displaystyle{ p|n^{p}-n}\) dla dowolnej liczby pierwszej.

A 561 to jest pierwsza? Bo chyba niebardzo... ale oczywiscie to twierdzenie wystarczy do zrobienia tego zadania (a udowadniac go wcale nie trzeba bo je zna kazdy).

można znaleźć ciekawostkę mającą związek z pierwszym zadaniem.