Matematyka.pl

Podstawa AB trojkata rownoramiennego ABC zawarta jest w prostej x+y+1=0. Ramie BC zawiera sie w prostej 2x-y-1=0. Wyznacz rownanie prostej k zawierajacej ramie AC wiedzac, ze punkt P=(-4,0) nalezy do prostej k.

Oj dużo liczenia będzie

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+1=0 \\ 2x-y-1=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-x-1\\ y=2x-1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ -x-1=2x-1}\)

Współrzędne punktu B:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=-1 \end{cases}}\)

Teraz obieramy na prostej AB punkt A taki że ma on współrzędne A=(m,-m-1).

Szukamy równania prostej AP i szukamy punktu wspólnego (C) z prostą BC.

Równanie prostej AP:

\(\displaystyle{ (y-y_{a})(x_{b}-x_{a})-(y_{b}-y_{a})(x-x_{a})=0}\)
\(\displaystyle{ (y+m+1)(-4-m)-(m+1)(x-m)=0}\)

Szukamy punktu wspólnego z prostą \(\displaystyle{ y=2x-1}\).
\(\displaystyle{ (2x-1+m+1)(-4-m)-(m+1)(x-m)=0}\)
\(\displaystyle{ -8x-2xm-4m-m^{2}-mx+m^{2}-x+m=0}\)
\(\displaystyle{ -9x-3xm-3m=0}\)
\(\displaystyle{ -3x-xm-m=0}\)
\(\displaystyle{ x(-3-m)=m}\)
\(\displaystyle{ x= -\frac{m}{m+3}}\)

Punkt C ma współrzędne: \(\displaystyle{ C=( -\frac{m}{m+3}, - \frac{3m+3}{m+3} )}\)

Teraz korzystamy z faktu ze: |AC|=|BC| ...

\(\displaystyle{ (-\frac{m}{m+3}-m)^{2}+ (- \frac{3m+3}{m+3}+t+1)^{2}=(-\frac{m}{m+3})^{2}+ ( - \frac{3m+3}{m+3}+1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ t^{2}+5t+6=0}\)

Wyjdą dwa rozwiązania ale 1 odrzucasz bo będzie równoległe.

Drugi sposób to poprowadzenie przez punkt P prostej równologłej do AB. Wtedy znajdziesz punkt przecięcia się tej prostej z prostą BC. (Oznaczmy ten punkt jako M) Trójkąt PMC też b edzie równoramienny jak nasz wyjściowy ale teraz znamy dwa wierzchołki podstawy Piszesz równanie symetralnej odcinka PM i szukasz punktu wspólnego z prosta BC.

Wielkie dzieki za wyczerpujace rozwiazanie Zabieram sie za studiowanie Twoich sposobow Zadanie rozwiazalem dzis w szkole na jakiejs lekcji, ale taka "matematyka zza stodoly" jak mawia moj nauczyciel od matematyki.