Matematyka.pl

witam
mam mały klopot, jak udowodnic indukcyjnie ze: \(\displaystyle{ 2^n>n^2+n-1}\) dla \(\displaystyle{ n\geq5}\) prosze o szybką pomoc i z góry dziekuje

Sprawdź prawdziwość dla 5.

Zakładamy, że zachodzi \(\displaystyle{ 2^n>n^2+n-1}\), mnożymy przez 2 stronami, dostajemy:

\(\displaystyle{ 2^{n+1}>2n^2+2n-2}\).

Jeśli wykażemy teraz, że dla \(\displaystyle{ n>5}\) zachodzi \(\displaystyle{ 2n^2+2n-2>(n+1)^2+(n+1)-1}\), to dowód kroku indukcyjnego będzie zakończony. Sam sobie już skończ.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

nuggle pisze:witam
mam mały klopot, jak udowodnic indukcyjnie ze: \(\displaystyle{ 2^n>n^2+n-1}\) dla \(\displaystyle{ n\geq5}\) prosze o szybką pomoc i z góry dziekuje

\(\displaystyle{ 2^n>n^2+n-1 \Longrightarrow 2^{n+1}>(n+1)^2+n}\)
Istotnie:
\(\displaystyle{ 2^{n+1}=2\cdot 2^n>2(n^2+n-1)>(n+1)^2+n}\)
\(\displaystyle{ 2(n^2+n-1)>(n+1)^2+n}\)
\(\displaystyle{ \Longupdownarrow}\)
\(\displaystyle{ n^2>n+3}\)
\(\displaystyle{ \Longupdownarrow}\)
\(\displaystyle{ (n-\frac{1}{2})^2>3\frac{1}{4}}\)
[edit] wybaczcie, niech zostanie, być może się przyda

acha wychodzi ze \(\displaystyle{ n^2-n\geq3}\) i nie bylem pewny czy to juz koniec ale wystarczy to odpowiednio zinterpretowac i dowod zakonczony. dzieki

To zadanie było na maturze rozszerzonej. Jeżeli dopisek

prosze o szybką pomoc

miał na celu zdobycie rozwiązania i przepisania na arkusz, to poskutkuje to nawet zablokowaniem konta. Jeżeli chodziło tylko o pomoc w rozwiązaniu "po maturze" to sprawa będzie miała inny kształt. Swoją drogą chętnie skierowałbym teraz do rozwiązań, które są na:

"miał na celu zdobycie rozwiązania i przepisania na arkusz, to poskutkuje to nawet zablokowaniem konta"

Ze co :DD? Sorry stary, ale sie osmieszyles ostro .

W drugim arkuszu (część rozszerzona) - zadanie 19. Nie takie triki znam, więc również opanuj się w słowach.

nuggle - przy takiej nierówności od razu widać, że jest spełniona dla każdego \(\displaystyle{ n\geq 5}\)

Ciekaw jestem jakie te "tricki" znasz skoro matura probna z matmy byla 19 grudnia, a topic byl zalozony 20? Moze przenoszenie sie w czasie : O? I podtrzymuje to co napisalem.

Słyszałem, że w różnych szkołach mogły być w różnych dniach. Matura próbna nie była do końca taka na serio. Sam miałem komuś rozwiązać kilka zadań z rozszerzonej chemii, ale nie mieści się to w konwencji zasad takiego egzaminu. Dlatego skupmy się na merytorycznej stronie tematu, tak będzie lepiej dla obu stron.

Mam pytanie czy taki dowód jest poprawny:
Tez uzylem implikacji, zalozenia i tezy takiej samej jak wy z tym ze dowod mam troche inny a mianowicie:
\(\displaystyle{ 2^{n+1}>(n+1)^{2}+(n+1)-1}\)
\(\displaystyle{ 2^{n}>\frac{1}{2}(n^{2}+3n+1)}\)
\(\displaystyle{ 2^{n}>\frac{1}{2}n^{2}+\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} = n^{2}+n-1 -\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n + \frac{3}{2}}\)
i teraz napisalem komentarz ze to jest z zalozenia:
\(\displaystyle{ 2^{n}>n^{2}+n-1}\)
Imusze tylko udowodnice ze nierownosc postaci:
\(\displaystyle{ 0}\)