Matematyka.pl

Dla zmiennej losowej X o gęstości rozkładu prawdopodobieństwa danej wzorami
f(x)=0 dla x<0, oraz f(x)=\(\displaystyle{ 3x^{2}exp(-x^{3})}\) dla x>0,

-znaleźć dystrybuantę
-znaleźć moment rzędu 2
-znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z= \sqrt[3]{X}}\)

Dystrybuanta:
\(\displaystyle{ F_X(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f_X(t)\mbox{d}t\\
F_X(x)=\begin{cases} 0,\; x\le 0\\
\int\limits_{0}^{x} 3x^2e^{-x^3}\mbox{d}x,\; x>0
\end{cases}=
\begin{cases} 0,\; x\le 0\\
1-e^{-x^3},\; x>0
\end{cases}}\)

Momen rzedu 2, to jesli sie nie myle wartosc oczekiwana zmennej \(\displaystyle{ X^2}\). Tak wiec:
\(\displaystyle{ EX^2=\int\limits_{0}^{+\infty}x^2\cdot 3x^2e^{-3x^3}\mbox{d}x=
(-x^2e^{-x^2})\left|\frac{}{}\right|_{0}^{+\infty}+2\int xe^{-x^3}\mbox{d}x}\)

Niestety tutaj nie da sie tego policzyc metodami elementarnymi. Trzeba skorzystac z wlasnosci, ze:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{+\infty} e^{-x^2}\mbox{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}}\)

Pozdrawiam.

Wyznaczmy, teraz dystrubuante zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=\sqrt[3]{X}}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ F_{Z}(t)=P(Z<t)=P(\sqrt[3]{X}<t)=P(X<t^3)=F_{X}(t^3)}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\)