równanie różniczkowe Clairauta

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom

równanie różniczkowe Clairauta

Post autor: qaz » 30 sty 2009, o 17:47

Rozwiazać równanie: \(\displaystyle{ y=xy'+\sqrt{1-y'^2}}\) czy ma tutaj wyjść: \(\displaystyle{ y=\pm x\sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}}+\sqrt{1-\frac{x^2}{x^2+1}}\) oraz \(\displaystyle{ y=Cx+\sqrt{1-C^2}}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

równanie różniczkowe Clairauta

Post autor: luka52 » 30 sty 2009, o 19:50

Rozw. \(\displaystyle{ y = Cx + \sqrt{1 - C^2}}\) - ok, ale to drugie nie. Jak zróżniczkujemy wyjściowe równanie, otrzymamy: \(\displaystyle{ y'' \left( x - \tfrac{y'}{\sqrt{1 - y'^2}} \right) = 0}\). Jednor rozw. znamy, wyznaczmy drugie. Drugie rozwiązanie dane jest w postaci parametrycznej (parametr to \(\displaystyle{ p=y'}\)):
\(\displaystyle{ x = \frac{p}{\sqrt{1 - p^2}}, \quad y = xp + \sqrt{1-p^2} = \frac{p^2}{\sqrt{1 - p^2}} + \frac{1-p^2}{\sqrt{1-p^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - p^2}}}\)
Nietrudno zauważyć, że jest \(\displaystyle{ y^2 - x^2 = 1}\).

Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom

równanie różniczkowe Clairauta

Post autor: qaz » 30 sty 2009, o 20:23

dzięki. Ja korzystam z Krysickiego i tam jest, że przy drugim rozwiązaniu postępujemy dokładnie jak przy pierwszym, tj. wyznaczamy \(\displaystyle{ y'}\) i podstawiamy do wyjściowego równania. Może i to i to jest poprawne po prostu ...

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

równanie różniczkowe Clairauta

Post autor: luka52 » 30 sty 2009, o 20:31

[quote="qaz"]Ja korzystam z Krysickiego[/quote]
To świetnie - polecam lekturę początkowych zdań w rozdziale traktującym o tego typu równaniach:
[quote]Niech teraz:
[center](11.3.5) [latex]x + f'(y') = 0[/latex].[/center]

Jeśli to równanie ma całkę spełniającą również równanie (11.3.1), to równanie linii całkowej odpowiadającej tej całce otrzymamy w postaci równań parametrycznych (11.3.1) i (11.3.5) traktując y' jako parametr.[/quote]

Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom

równanie różniczkowe Clairauta

Post autor: qaz » 30 sty 2009, o 22:31

ale w przykładach bynajmniej jest inaczej...

ODPOWIEDZ