Matematyka.pl

1. \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}}}\)

2. \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } (\sin(\frac{1}{n})*\cos(\frac{1}{n}))}\)

2. \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } (\sin(\frac{1}{n})*\tg(\frac{1}{n}))}\)

4. \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } (n^2 sin\frac{2}{n} \tg\frac{5}{n})}\)

Ogólnie zastanawiałem się nad kryterium porównawczym do zadań 2,3,4 ale dokładnie do czego porównać nie mam pojęcia. W zadaniu 1 porównałem do \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) i wyszło mi że szereg jest zbieżny, ale wg. odpowiedzi powinien być rozbieżny.
Dzięki z góry.

hey! w przykladnie a) szereg jest rozbiezny, bo:
\(\displaystyle{ a_n = \sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}} = \frac{1}{n\sqrt[n]{n}}}\)
teraz wiemy, ze \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \to 1}\) dla duzych n. Wiec liczbe jeden mozeby obrac za gore ograniczenie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\).
Zatem: \(\displaystyle{ n \cdot \sqrt[n]{n} \le n \cdot 1 \Leftrightarrow \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{n}} \ge \frac{1}{n}}\)
Wiemy, ze szereg o wyrazach 1/n jest rozbiezny, zatem z kryterium porownawczego nasz szreg tez jest rozbiezny.

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \le 1 \Leftrightarrow n \le 1}\)
sprzecznosc.

Noo \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) zmierza do 1, ale z góry, więc takie szacowanie nie jest prawdziwe, z zagęszczeniowego zdaje się wychodzi. A wsio inne najlepiej z ilorazowego.

lol.. sorki 4all ale dzis nie mysle.. lepiej ide sobie.

Lorek pisze:Noo \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) zmierza do 1, ale z góry, więc takie szacowanie nie jest prawdziwe, z zagęszczeniowego zdaje się wychodzi. A wsio inne najlepiej z ilorazowego.

Mógłbym prosić o najdokładniejsze rozwiązanie chociaż jednego z tych szeregów z kryterium ilorazowego?

nie dobra.. musze sie poprawic i potem pojde.
ja proponuje kryterium graniczne
niech \(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{n \sqrt[n]{n}} >0 \ \ b_n = \frac{1}{n} > 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n} = \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \to 1 \in (0, \infty)}\)
kryterium to mowi, ze szeregi o wyrazach \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) sa rownoczesnie zbiezne lub rozbiezne. Dla naszego obranego szregu o wyrazach \(\displaystyle{ b_n = \frac{1}{n}}\) wynika rozbieznos szregu o wyrazach \(\displaystyle{ a_n}\)
...
teraz juz ide

2.
\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=1} \sin \frac1n \cos \frac1n=\frac12 \sum^{\infty}_{n=1} \sin \frac2n}\)

A to jak wiemy jest rozbieżne

setch pisze:2.
\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=1} \sin \frac1n \cos \frac1n=\frac12 \sum^{\infty}_{n=1} \sin \frac2n}\)

A to jak wiemy jest rozbieżne

hm... a z jakiej tożsamości skorzystałes przekształcając sin*cos na sin?

edit: z tego, tak? \(\displaystyle{ \sin (2 x) = 2 \sin x \cdot \cos x \,}\)

prosiłbym jeszcze o rozwiązanie następnego szeregu gdzie mamy tg, bo tam ma wyjść zbieżność znowuż, dziękuję

edit2: i w ogóle skąd wiadomo że szereg \(\displaystyle{ \sin(\frac{2}{n})}\) jest rozbieżny

edit3: hm.. ale dobra zrobiłęm to z tego iloczynowego, czyli obliczyłem granicę \(\displaystyle{ a_n/b_n}\) wyszło 0 tylko co dalej czy mogę wnioskować wg. tego co znazłem w wiki nt. tego kryterium że skoro granica \(\displaystyle{ a_n/b_n}\) nie zawiera się w przedziale tam podanym oraz podane niżej warunki nie obowiązują (bo to drugi szereg nie jest zbieżny) to szereg wyjściowy jest rozbieżny?
może coś poplątałem ale mam nadzieję że ktoś zrozumie...

Np z ilorazowego, czyli podobnie jak to zrobił msx100, albo z nierówności
\(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}x\le \sin x}\) dla \(\displaystyle{ x\in (0,\frac{\pi}{2})}\)
A dla tangensa to ilorazowe i znane granice A ostatni nie spełnia warunku koniecznego (ma coś wspólnego z ilorazowym z 3).

czyli jeśli chodzi o przykład z tangensem granica ilorazu mi wyszla 1, natomiast granica tg(1/n) wynosi 0, czyli jest to szereg zbieżny, dlatego możemy wnioskować że nasz początkowy iloczyn jest zbieżny, tak?

Ee, znaczy takie coś mi chodziło
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}\tan\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}=1}\)
a że to na dole jest zbieżne, to to u góry też.