Matematyka.pl

Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A:

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&-1&-2\\2&1&3\end{array}\right]}\)

Sprawdź poprawność wyznaczenia macierzy odwrotnej \(\displaystyle{ A^{-1}}\)

Proszę w wskazówki jak rozwiązać to zadanie.
Pozdrawiam!

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3 \\ 2&-1&-2 \\ 2&1&3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} \\
\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = y_1 \\ 2x_1 - x_2 - 2x_3 = y_2 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 = y_3 \end{cases}}\)
rozwiązujesz układ równań,
doprowadź do postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=ay_1+by_2+cy_3 \\ x_2=dy_1+ey_2+fy_3 \\ x_3=gy_1+hy_2+iy_3 \end{cases}}\)
macierz odwrotna \(\displaystyle{ A^{-1} = \begin{bmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{bmatrix}}\)

Wielkie dzięki za pomoc, choć niestety nie znam tego sposobu na doprowadzenie do wskazanej postaci. Dałoby rade mi go przybliżyć? Dzięki i pozdrawiam!

metodą eliminacji Gaussa (pomiędzy układami zaznaczyłem operacje na wierszach)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = y_1 \\ 2x_1 - x_2 - 2x_3 = y_2 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 = y_3 \end{cases} \\
w_2-2w_1 \\
w_3-2w_1 \\
\begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=y_1 \\ -5x_2-8x_3=-2y_1+y_2 \\ -3x_2-3x_3=-2y_1+y_3 \end{cases} \\
w_3:(-3) \\
\begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=y_1 \\ -5x_2-8x_3=-2y_1+y_2 \\ x_2+x_3=\frac{2}{3}y_1-\frac{1}{3}y_3 \end{cases} \\
w_2+5w_3 \\
\begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=y_1 \\ -3x_3=\frac{4}{3}y_1+y_2-\frac{5}{3}y_3 \\ x_2+x_3=\frac{2}{3}y_1-\frac{1}{3}y_3 \end{cases} \\
w_2:(-3) \\
w_2 \leftrightarrow w_3 \\
\begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=y_1 \\ x_2+x_3=\frac{2}{3}y_1-\frac{1}{3}y_3 \\ x_3=-\frac{4}{9}y_1-\frac{1}{3}y_2+\frac{5}{9}y_3 \end{cases} \\
\begin{cases} x_1=y_1 - 2[\frac{2}{3}y_1-\frac{1}{3}y_3 - (-\frac{4}{9}y_1-\frac{1}{3}y_2+\frac{5}{9}y_3)] - 3(-\frac{4}{9}y_1-\frac{1}{3}y_2+\frac{5}{9}y_3) \\ x_2=\frac{2}{3}y_1-\frac{1}{3}y_3 - (-\frac{4}{9}y_1-\frac{1}{3}y_2+\frac{5}{9}y_3) \\ x_3=-\frac{4}{9}y_1-\frac{1}{3}y_2+\frac{5}{9}y_3 \end{cases} \\
\begin{cases} x_1=\frac{1}{9}y_1+\frac{1}{3}y_2+\frac{1}{9}y_3 \\ x_2=\frac{10}{9}y_1+\frac{1}{3}y_2-\frac{8}{9}y_3 \\ x_3=-\frac{4}{9}y_1-\frac{1}{3}y_2+\frac{5}{9}y_3 \end{cases} \\
A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\ \frac{10}{9} & \frac{1}{3} & -\frac{8}{9} \\ -\frac{4}{9} & -\frac{1}{3} & \frac{5}{9} \end{bmatrix}}\)

Dzięki za przybliżenie tej metody, na pewno się przyda. Pozdrawiam!