Matematyka.pl

1.Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisany w okrąg oraz dowolny punkt \(\displaystyle{ X}\) leżący w jego wnętrzu. Proste \(\displaystyle{ AX}\) i \(\displaystyle{ DX}\)przecinają ten okrąg w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\)(różnych od \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\)). Punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\)to odpowiednio punkty przecięcia prostych \(\displaystyle{ AM}\)i \(\displaystyle{ CD}\) oraz \(\displaystyle{ DN}\) i \(\displaystyle{ AB}\). Udowodnić, że punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ MN}\) i \(\displaystyle{ EF}\) leży na prostej \(\displaystyle{ BC}\).

2.Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Rozpatrujemy wszystkie pary trójkątów \(\displaystyle{ ABX}\) i \(\displaystyle{ ACY}\) zbudowanych na zewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), że \(\displaystyle{ \angle XAB= \angle XAC-30^o}\) oraz \(\displaystyle{ \angle ABX=180^o - \angle ACY}\). Wykazać, że wszystkie proste \(\displaystyle{ XY}\) odpowiadające różnym parom takich trójkątów przecinają się w jednym punkcie.

W zadaniu 2 chyba źle przepisałeś treść, bo przy ustalonym Y możesz poruszać punktem X, warunki zadania nadal będą zachowane, a teza nie będzie zachodzić. Poza tym kąt ABC należy zapisać jako:

Zad 1

Punkty A,B,C,D,M,N leżą na okręgu (a właściwie krzywej stożkowej), zatem z punkty przecięcia 'boków' DN i AB, NM i BC, DC i AM leżą na jednej prostej, czyli F,E i punkt przecięcia BC i MN leżą na jednej prostej, co nam daje tezę.