Hej!
Ja wiem doskonale, że pełno osób pisało tu z podobnym problemem, ale nigdzie nie znalazłam dokładnego rozwiązania tego zadania, dlatego proszę jeszcze raz i zwracam się z prośbą o dokładnie wyjaśnienie, byłabym bardzo wdzięczna.
Zbadać różniczkowalność funkcji:
\(\displaystyle{ a) f(x) = \left| 2 - 4x \right|}\)
\(\displaystyle{ b) f(x) = \begin{cases} x^{2} - 2 \ , \ x < 1 \\ 4x - 5 \ , \ x \ge 1 \end{cases}}\)
Zbadać różniczkowalność funkcji
-
miodzio1988
Zbadać różniczkowalność funkcji
b) badamy rozniczkowalnosc jedynie w punkcie x=1, poniewaz w pozostalych punktach funkcja jest rozniczkowalna jako suma 2 funkcji elementarnych o ktorych wiemy ze sa rozniczkowalne.
liczymy wiec pochodną lewostronną i prawostronną w punkcie 1.
i na tym sie zatrzymam pozwalając kolezance zrobic to. Z definicji nalezy policzyc te pochodne.
a) takim punktem do sprawdzenia jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Rozpisz tę wartosc bezwzgledną.
liczymy wiec pochodną lewostronną i prawostronną w punkcie 1.
i na tym sie zatrzymam pozwalając kolezance zrobic to. Z definicji nalezy policzyc te pochodne.
a) takim punktem do sprawdzenia jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Rozpisz tę wartosc bezwzgledną.
Zbadać różniczkowalność funkcji
A skąd o tym wiemy? Przez to, że miejsce zerowe nie znajduje się w przedziale "pierwszej" funkcji? Dlatego należy liczyć dla 1?poniewaz w pozostalych punktach funkcja jest rozniczkowalna jako suma 2 funkcji elementarnych o ktorych wiemy ze sa rozniczkowalne
A w ogóle to w furmule się pomyliłam i zamiast 4x - 5x powinno być 4x - 5... Czy to wciąż trzeba dla punktu x = 1 liczyć czy w tym wypadku dla x = 5/4 ?
a) \(\displaystyle{ f(x) = \left| 2 - 4x \right| = \begin{cases} 2 - 4x \ , \ x \in (-\infty ; \frac{2}{4}) \\ -(2 - 4x) \ , \ x \in ( \frac{2}{4} ; \infty) \end{cases}}\)
I tu nalezy policzyć pochodną lewostronną i prawostronną w puncie x=1/2, tak? Jak to dokładnie zrobić mając moduł?
-
miodzio1988
Zbadać różniczkowalność funkcji
a) owszem nalezy policzyc pochodną prawostronną i lewostronną w punkcie ktory wskazałaś.
definicje mam nadzieje ze znasz.
spojrz sie, mamy do policzenia takie 2 pochodne:
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0^{-} } \frac{f( x_{0}+h)-f( x_{0} ) }{h}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0^{+} } \frac{f( x_{0}+h)-f( x_{0} ) }{h}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_{0}= \frac{1}{2}}\)
gdy liczymy granicę prwostronną korzystamy z postaci funkcji:
f(x)=-(2-4x)
gdy liczymy granicę prawostronną korzystamy z postaci funkcji:
f(x)=2-4x.
b) są funkcje elementarne o ktorych wiemy(powiinismy wiedziec:P) ze sa rozniczkowalne. to są takkie najprostsze funkcje ktore powinnas znac z liceum. taki sinx, cosx , x itd:D wielomiany to tez funkcje o ktorych wiemy ze sa rozniczkowalne. latwo to zresztą sprawdzic.
w tym przypadku badamy punkt x=1 poniewaz w tym punkcie funkcja zmienia swoją postac. Traci swoją elementrarnosc powiedzmy;]
definicje mam nadzieje ze znasz.
spojrz sie, mamy do policzenia takie 2 pochodne:
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0^{-} } \frac{f( x_{0}+h)-f( x_{0} ) }{h}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0^{+} } \frac{f( x_{0}+h)-f( x_{0} ) }{h}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_{0}= \frac{1}{2}}\)
gdy liczymy granicę prwostronną korzystamy z postaci funkcji:
f(x)=-(2-4x)
gdy liczymy granicę prawostronną korzystamy z postaci funkcji:
f(x)=2-4x.
b) są funkcje elementarne o ktorych wiemy(powiinismy wiedziec:P) ze sa rozniczkowalne. to są takkie najprostsze funkcje ktore powinnas znac z liceum. taki sinx, cosx , x itd:D wielomiany to tez funkcje o ktorych wiemy ze sa rozniczkowalne. latwo to zresztą sprawdzic.
w tym przypadku badamy punkt x=1 poniewaz w tym punkcie funkcja zmienia swoją postac. Traci swoją elementrarnosc powiedzmy;]
Zbadać różniczkowalność funkcji
Dzięki bardzo za pomoc, już sobie poradziłam . Nie liczyłam tego już od dłuższego czasu i trochę trudno było mi sobie to wszystko przypomnieć, ale teraz już wszystko wiem . Dzięki raz jeszcze!