Funkcja kwadratowa-zadania.

[Gość]

1) Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której wykres przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ (1,7)}\) i \(\displaystyle{ (-1,-27)}\), a wartością największą jest liczba \(\displaystyle{ 9}\). -->tutaj ma wyjść: \(\displaystyle{ -(5x-1)^2+9}\)

2) Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej \(\displaystyle{ m}\) przyporządkowuje największą wartość funkcji \(\displaystyle{ g(x)=|x^2+m|}\) w przedziale . Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\). -->wynik: funkcja f osiąga wart. najmniejszą równą \(\displaystyle{ 0,5}\) dla \(\displaystyle{ m=-0,5}\)

3) Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej \(\displaystyle{ m}\) przyporządkowuje największą wartość funkcji \(\displaystyle{ g(x)=x^2-(m^2-4)}\) w przedziale . Podaj wzór funkcji \(\displaystyle{ f}\) oraz sporządź jej wykres.

4) Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej \(\displaystyle{ m}\) przyporządkowuje liczbę pierwiastków równania \(\displaystyle{ (x^2-1-m)(|x|-1-m)=0}\). Sporządź wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\).

[Zlodiej]

AD 1
Napewno dobrze wszystko napisałeś ? bo mi sie wydaje ze coś nie tak. skoro am wyjsc wynik \(\displaystyle{ -(5x-1)^2+9}\) czyli \(\displaystyle{ -25x^2+10x+8}\)

ogolny wzor funkcji:
\(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c}\)

masz podane 2 punkty czyli mozesz stworzyć układ rownan:
\(\displaystyle{ 7=a+b+c
\\-27=a-b+c}\)

zsumując masz \(\displaystyle{ a+c=-10}\) i podstawiając do pierwszego masz \(\displaystyle{ b=17}\) a wg twojego wyniku \(\displaystyle{ b=10}\) :/

Czy moze ja sie gdzies pomyliłem

[basia]

tak, jest błąd: ma być \(\displaystyle{ (1,-7)}\)
przepraszam, źle przepisałam

byłam zalogowana a post mam jako gość

[Yavien]

Ogolna metoda: (ZAD1):
wzor ogolny:
\(\displaystyle{ y = ax^2 + bx + c}\)
przechodzi przez punkty --> uklad dwoch rownan (z niewiadomymi a, b, c)
Maksymalna wartosc = 9 --->wierzcholek paraboli ma wspolrzedne \(\displaystyle{ \left( \frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a} \right)}\) skoro to jest wartosc najwieksza, to \(\displaystyle{ 4ac - 100 = 36a}\)
\(\displaystyle{ c = -17 - a\\
4a(-17 - a) - 100 = 36a\\
4a^2 +104a + 100 =0 /:4\\
a^2 + 26 + 25 = 0}\)
sa dwie mozliwosci: \(\displaystyle{ a = -1}\) lub \(\displaystyle{ a = -25}\)
\(\displaystyle{ a = -1 \\
b = 10 \\
c = -17 -(-1) = -16}\)
lub
\(\displaystyle{ a = -25\\
b = 10\\
c = -17 +25 = 8}\)
ten drugi wynik podawalas, ten pierwszy tez jest prawidlowy


ZAD2
\(\displaystyle{ f(x) = x^2 + m}\) - wykresem jest parabola "usmiechnieta" (ramiona do gory) przesunieta o wartosc m w gore (czyli, gdy mg(0) dla kazdego m, zatem funkcja nasza wyraza sie wzorem
\(\displaystyle{ f(m) = 5 - m^2}\)

ZAD4
Niech \(\displaystyle{ n = -1 - m}\), bo bedzie latwiej sobie patrzec.
rownanie zmienia postac na:
\(\displaystyle{ \left( x^2 + n \right) \left( |x| + n \right) =0}\)
narysuj wykresy obydwu mnozonych funkcji: \(\displaystyle{ x^2}\) i \(\displaystyle{ |x|}\)
mamy parabole i wykres modulu, obydwie krzywe sa symetryczne wzgledem osi oy, przecinaja sie w trzech punktach: \(\displaystyle{ (0,0)}\), \(\displaystyle{ (-1,1)}\) i \(\displaystyle{ (1,1)}\), wartosci tych funkcji sa nieujemne (na razie maja jedno wspolne miejsce zerowe dla \(\displaystyle{ x=0}\))
potem w nawiasach jest +n, czyli obydwa te wykresy przesuwamy o n w pionie co sie moze stac?
\(\displaystyle{ n>0}\) --> wykresy podskocza i nie bedzie zadnych miejsc zerowych
\(\displaystyle{ n = 0}\) --> wykresy beda mialy jedno wspolne miejsce zerowe
\(\displaystyle{ n= -1}\) --> wykresy beda mialy dwa wspolne miejsca zerowe dla \(\displaystyle{ x = 1}\) i \(\displaystyle{ x = -1}\)
\(\displaystyle{ n-1}\) --> beda 4 miejsca zerowe.
Trzeba jeszcze powyzsze przelozyc "na jezyk m", biorac pod uwage, ze
\(\displaystyle{ m = - (n+1)}\)