Matematyka.pl

Jaka jest miara Lebesgue'a zbioru liczb odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\) w których rozwinięciu dziesiętnym nie występują sąsiadujące siódemki

Mozna znacznie prosciej z uzyciem rachunku prawdopodobienstwa... i pewnie bez uzycia tez... Moje rozwiazanie ma te wade/zalete, ze daje sie z niego precyzyjnie wyznaczyc to, co potem bedzie sie nazywalo \(\displaystyle{ P_n}\), czyli rachunek nie bedzie wymagal szacowania.

Niech \(\displaystyle{ A_n}\) oznacza zbior takich liczb, ktore do miejsca \(\displaystyle{ n}\) po przecinku nie maja sasiadujacych siodemek w rozwinieciu dziesietnym.

Niech:

\(\displaystyle{ P_n}\)

oznacza liczbe ciagow \(\displaystyle{ n}\)-elementowych o wartosciach w zbiorze \(\displaystyle{ \{0,1,...,9\}}\) bez sasiadujacych siodemek.

\(\displaystyle{ Q_n}\)

oznacza liczbe wszystkich ciagow n-elementowych o wartosciach w zbiorze \(\displaystyle{ \{0,1,...,9\}}\).

Wowczas miara zbioru \(\displaystyle{ A_n}\) to

\(\displaystyle{ \frac{P_n}{Q_n}}\).

Nas interesuje liczba:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{P_n}{Q_n}}\)

Oczywiscie \(\displaystyle{ Q_n=10^n}\).

Niech

\(\displaystyle{ A_n}\) oznacza liczbe ciagow n-elementowych bez kolejnych siodemek, zakonczonych siodemka
\(\displaystyle{ B_n}\) oznacza liczbe ciagow n-elementowcy bez kolejnych siodemek, nie zakonczonych siodemka

Mamy wowczas:

\(\displaystyle{ P_n=A_n+B_n}\)

Ponadto:

\(\displaystyle{ A_n=B_{n-1}}\)

oraz:

\(\displaystyle{ B_n=9\cdot P_{n-1}.}\)

Skladajac to w calosc otrzymujemy:

\(\displaystyle{ P_n=9(P_{n-2}+P_{n-1})}\)

skad

\(\displaystyle{ \frac{P_n}{Q_n}=\frac{9(P_{n-2}+P_{n-1})}{10^n}=\frac{9}{100}\cdot\frac{P_{n-2}}{Q_{n-2}}+
\frac{9}{10}\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}}\)

czyli

\(\displaystyle{ \mu(A_n)=\frac{9}{100}\mu(A_{n-2})+\frac{9}{10}\mu(A_{n-1})}\)

Ciag \(\displaystyle{ \mu(A_n)}\) jest zbiezny, bo zbior z zadania jest mierzalny, zatem szukana granica tego ciagu spelnia rownanie:

\(\displaystyle{ g=\frac{9}{100}\cdot g+\frac{9}{10}\cdot g=0,99g}\)

czyli

\(\displaystyle{ g=0}\)

i to jest odpowiedz.