Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć podane pochodne:
a)\(\displaystyle{ f ^{(50)} (0)}\) dla \(\displaystyle{ f(x)=xsinx}\)
b)\(\displaystyle{ f^{(25)} (0)}\) dla \(\displaystyle{ f(x)= x^{2}ln(1-x)}\)
Z góry dziękuję za pomoc.
Oblicz pochodną korzystając z rozwinięć Maclaurina
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6589
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Oblicz pochodną korzystając z rozwinięć Maclaurina
a) Rozwijamy funkcje w szereg MacLaurina:
\(\displaystyle{ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\\
x\sin x=x\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}=
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+2}\\
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+2}}\)
Chcemy znalezc 50 pochodna w punkcie 0, wiec musismy znalezc 50 czynnik w rozwinieciu:
\(\displaystyle{ 2n+2=50\\
2n=48\\
n=24\\
f^{(50)}(0)=a_{24}=\frac{(-1)^{24}}{49!}=\frac{1}{49!}}\)
b) Analogicznie skorzystac z gotowego rozwiniecia
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\\
x\sin x=x\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}=
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+2}\\
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+2}}\)
Chcemy znalezc 50 pochodna w punkcie 0, wiec musismy znalezc 50 czynnik w rozwinieciu:
\(\displaystyle{ 2n+2=50\\
2n=48\\
n=24\\
f^{(50)}(0)=a_{24}=\frac{(-1)^{24}}{49!}=\frac{1}{49!}}\)
b) Analogicznie skorzystac z gotowego rozwiniecia
Pozdrawiam.
Oblicz pochodną korzystając z rozwinięć Maclaurina
Wydaje mi się, że powinno być \(\displaystyle{ \frac{24!}{49!}}\) . Przecież powinniśmy przemnożyć \(\displaystyle{ c_{n}}\) przez n!
Wiem, że to stary wątek, ale właśnie trafiło mi się to zadanie i chciałbym się upewnić, czy dobrze myślę?
Wiem, że to stary wątek, ale właśnie trafiło mi się to zadanie i chciałbym się upewnić, czy dobrze myślę?
-
abc666
Oblicz pochodną korzystając z rozwinięć Maclaurina
Niestety nikt nie trafił, w rozwinięciu tym występują tylko potęgi parzyste więc otrzymamy
\(\displaystyle{ \frac{2\cdot 4\cdot ...\cdot 24 }{49!}=\frac{24!!}{49!}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2\cdot 4\cdot ...\cdot 24 }{49!}=\frac{24!!}{49!}}\)
-
abc666
Oblicz pochodną korzystając z rozwinięć Maclaurina
Oj palnąłem głupotę straszną post wcześniej. superes, ma racje bo
\(\displaystyle{ (x^{50})^{(50)}=50!}\)
\(\displaystyle{ (x^{50})^{(50)}=50!}\)