Dziedzina funkcji arcsin

[arek132]

Witam. Mam pewien problem. Mianowicie mam w zadaniu wyliczyć dziedzinę danej funkcji. Wiem jaki jest sposób obliczania D, ale mój wynik nieco się różni od odpowiedzi...
\(\displaystyle{ f(x) = arcsin (\frac{x-2}{1-4x})}\)

D:
\(\displaystyle{ -1 \le \frac{x-2}{1-4x} \le 1}\)

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{x-2}{1-4x} \wedge \frac{x-2}{1-4x} \le 1}\)

Pierwsza nierówność:

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{x-2}{1-4x}}\)

\(\displaystyle{ 0 \le \frac{x-2+1-4x}{1-4x}}\)

\(\displaystyle{ 0 \le \frac{-3x-1}{1-4x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{3x}{1-4x} \le \frac{-1}{1-4x} | \cdot (1-4x)}\) i stawiam założenie, że \(\displaystyle{ 1-4x>0}\) , czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{4} >x}\)

\(\displaystyle{ 3x \le -1}\)

\(\displaystyle{ x \le - \frac{1}{3}}\)

Gdzie się pomyliłem?
Przepraszam, za jakieś niejasności. To mój pierwszy post.

[bedbet]

Nie możesz zakładać, że mnożąc obustronnie przez \(\displaystyle{ 1-4x}\), \(\displaystyle{ 1-4x>0}\). Zawężasz w ten sposób dziedzinę tej nierówności. Możesz mnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ 1-4x}\), przy założeniu, że nie mnożysz obustronnie danej nierówności przez zero, tj. w tym przypadku mamy:

\(\displaystyle{ \frac{3x}{1-4x}\leqslant\frac{-1}{1-4x} \ \ \left/ \ \cdot \ (1-4x) \ , \ x\neq\frac{1}{4}}\)

Mamy dwa przypadki:

I. \(\displaystyle{ 3x\leqslant-1}\) dla \(\displaystyle{ 1-4x>0\Rightarrow x<\frac{1}{4}}\)

II. \(\displaystyle{ 3x\geqslant-1}\) dla \(\displaystyle{ 1-4x<0\Rightarrow x>\frac{1}{4}}\)

Rozwiązaniem I jest \(\displaystyle{ x\leqslant-\frac{1}{3}}\). Rozwiązaniem II zaś, \(\displaystyle{ x\geqslant\frac{1}{4}}\).

Ostatecznie więc rozwiązaniem nierówności \(\displaystyle{ -1\leqslant\frac{x-2}{1-4x}}\) jest przedział \(\displaystyle{ D_1= \left\{ x \ : \ x\in\left(-\infty;-\frac{1}{3}\right>\cup \left<\frac{1}{4};+\infty \right)\right\}}\)

[Jerzy_Kiler]

Moglby mi ktos dokladnie krok po kroku wytlumaczyc to zadanie? Mi dziedzina wychodzi x<= -1/3 i x<=3/5 bez 1/4. Co wy na to? ;/

[miodzio1988]

Nie możesz zakładać, że mnożąc obustronnie przez \(\displaystyle{ 1-4x}\), \(\displaystyle{ 1-4x>0}\). Zawężasz w ten sposób dziedzinę tej nierówności. Możesz mnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ 1-4x}\), przy założeniu, że nie mnożysz obustronnie danej nierówności przez zero, tj. w tym przypadku mamy:

\(\displaystyle{ \frac{3x}{1-4x}\leqslant\frac{-1}{1-4x} \ \ \left/ \ \cdot \ (1-4x) \ , \ x\neq\frac{1}{4}}\)

Mamy dwa przypadki:

I. \(\displaystyle{ 3x\leqslant-1}\) dla \(\displaystyle{ 1-4x>0\Rightarrow x<\frac{1}{4}}\)

II. \(\displaystyle{ 3x\geqslant-1}\) dla \(\displaystyle{ 1-4x<0\Rightarrow x>\frac{1}{4}}\)

Rozwiązaniem I jest \(\displaystyle{ x\leqslant-\frac{1}{3}}\). Rozwiązaniem II zaś, \(\displaystyle{ x\geqslant\frac{1}{4}}\).

Ostatecznie więc rozwiązaniem nierówności \(\displaystyle{ -1\leqslant\frac{x-2}{1-4x}}\) jest przedział \(\displaystyle{ D_1= \left\{ x \ : \ x\in\left(-\infty;-\frac{1}{3}\right>\cup \left<\frac{1}{4};+\infty \right)\right\}}\)

Jest kroku po kroku , więc nie wiem co tutaj tłumaczyć