Wektor własny, postać diagonalna
: 14 sty 2009, o 18:55
Witam. Mam taki problem ze schamatem rozwiązania.
Od początku:
Mamy macierz:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&3&0\\3&-2&-1\\0&-1&1\end{array}\right]}\)
Obliczam:
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=det(\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&3&0\\3&-2-\lambda&-1\\0&-1&1-\lambda\end{array}\right])=-\lambda^3+12\lambda-12}\)
Z czego otrzymuję wartości własne:
\(\displaystyle{ \lambda_{1}=-4}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{2}=3}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{3}=1}\)
Dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=-4}\) aby policzyć wektory własne.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}5&3&0\\3&2&-1\\0&-1&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right]=0}\)
I czy teraz ktoś mógłby mi łopatologicznie powiedzieć jak się tworzy wektor własny?
//edit
Prosilbym o potwierdzenie czy dobrze robię. Z powyższej macierzy, tworzę układ równań z którego mi wynika, że
\(\displaystyle{ x_{1}=-3/5 x_{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=1/5x_{2}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}x_{1}=-3/5 x_{2}\\x_{2}\\x_{3}=1/5x_{2}\end{array}\right]=x_{2}\left[\begin{array}{ccc}-3/5 \\1\\1/5\end{array}\right]=\frac{5}{\sqrt(35)}\left[\begin{array}{ccc}-3/5 \\1\\1/5\end{array}\right]}\)
Analogicznie postępuję potem z \(\displaystyle{ \lambda_{2}}\) i \(\displaystyle{ \lambda_{3}}\).
Następnie w poleceniu mam napisane, aby sprowadzić do wszystko do postaci diagonalnej poprzez transformację podobieństwa. Jeśli ktoś mógłby pomóc, będę wdzięczny.
Od początku:
Mamy macierz:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&3&0\\3&-2&-1\\0&-1&1\end{array}\right]}\)
Obliczam:
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=det(\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&3&0\\3&-2-\lambda&-1\\0&-1&1-\lambda\end{array}\right])=-\lambda^3+12\lambda-12}\)
Z czego otrzymuję wartości własne:
\(\displaystyle{ \lambda_{1}=-4}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{2}=3}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{3}=1}\)
Dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=-4}\) aby policzyć wektory własne.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}5&3&0\\3&2&-1\\0&-1&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right]=0}\)
I czy teraz ktoś mógłby mi łopatologicznie powiedzieć jak się tworzy wektor własny?
//edit
Prosilbym o potwierdzenie czy dobrze robię. Z powyższej macierzy, tworzę układ równań z którego mi wynika, że
\(\displaystyle{ x_{1}=-3/5 x_{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=1/5x_{2}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}x_{1}=-3/5 x_{2}\\x_{2}\\x_{3}=1/5x_{2}\end{array}\right]=x_{2}\left[\begin{array}{ccc}-3/5 \\1\\1/5\end{array}\right]=\frac{5}{\sqrt(35)}\left[\begin{array}{ccc}-3/5 \\1\\1/5\end{array}\right]}\)
Analogicznie postępuję potem z \(\displaystyle{ \lambda_{2}}\) i \(\displaystyle{ \lambda_{3}}\).
Następnie w poleceniu mam napisane, aby sprowadzić do wszystko do postaci diagonalnej poprzez transformację podobieństwa. Jeśli ktoś mógłby pomóc, będę wdzięczny.