Wyprowadzenie wzoru na wyróżnik i pierwiastki.

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
wojteka

Wyprowadzenie wzoru na wyróżnik i pierwiastki.

Post autor: wojteka » 18 wrz 2004, o 17:44

Mam problem w wyprowadzeniu wzoru na delte i pierwiastki w wielomianie kwadratowym.

Skrzypu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1146
Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 18 razy

Wyprowadzenie wzoru na wyróżnik i pierwiastki.

Post autor: Skrzypu » 18 wrz 2004, o 17:58

\(\displaystyle{ ax^2+bx+c/:a \\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \\
x^2+ \frac{b}{a}x+ \frac{b^2}{4a^2}- \frac{b^2}{4a^2}+ \frac{c}{a}=0 \\
\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2- \frac{b^2}{4a^2}+ \frac{c}{a}=0 \\
\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2- \frac{b^2}{4a^2}+ \frac{4ac}{4a^2}=0 \\
\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2- \frac{b^2-4ac}{4a^2}=0}\)

Niech \(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac}\)
\(\displaystyle{ \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2- \frac{\Delta}{4a^2}=0 \\
\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2- \left( \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)^2=0 \\
\left( x+ \frac{b}{2a}+ \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\left( x+ \frac{b}{2a}- \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) =0 \\
\left( x+\left( \frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right) \left( x+\left( \frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right) =0 \\
x+\left( \frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right) =0 \vee x+\left( \frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)=0 \\
x= \frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a} \vee x= \frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

wojteka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 18 wrz 2004, o 22:25

Wyprowadzenie wzoru na wyróżnik i pierwiastki.

Post autor: wojteka » 18 wrz 2004, o 22:29

Dzieki za odpowiedz ale nadal mam problem. Jak przeszedles z
\(\displaystyle{ x^2+ \frac{b}{a} \cdot x+ \frac{b^2}{4a^2} -\frac{b^2}{4a^2}+ \frac{c}{a} =0}\) (poza tym tu sie wdarl blad bo napisales najpierw \(\displaystyle{ \frac{b^2}{4a}}\) a powinien byc kwadrat przy a)
do tego :
\(\displaystyle{ \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0}\)

wojteka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 18 wrz 2004, o 22:25

Wyprowadzenie wzoru na wyróżnik i pierwiastki.

Post autor: wojteka » 18 wrz 2004, o 23:00

juz sobie poradzilem

Mikz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 22 paź 2010, o 21:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Wyprowadzenie wzoru na wyróżnik i pierwiastki.

Post autor: Mikz » 1 mar 2013, o 15:16

Przepraszam że odgrzebuję temat sprzed 9 lat ale nie mogę przejść nad tym do porządku dziennego.
Ten temat wyskakuje na wysokiej pozycji w google pod hasłem "wyprowadzenie wzoru na wyróżnik funkcji kwadratowej" i posiada podstawowy błąd którego bardzo łatwo jest się dopatrzeć.
Otóż:
Skrzypu pisze:\(\displaystyle{ x+\left( \frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right) =0 \vee x+\left( \frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)=0 \\ x= \frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a} \vee x= \frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
co jest oczywistą bzdurą, ponieważ żadne z podanych rozwiązań nie doprowadza do tego żeby równania były prawdziwe.
Powinno być:
\(\displaystyle{ x+\left( \frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right) =0 \vee x+\left( \frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)=0 \\ x= -\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a} \vee x= -\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
czyli w efekcie możemy sobie dojść do wzorów znanych ze szkoły średniej, czyli:
\(\displaystyle{ x= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \vee x= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

Pozdrawiam i jeszcze raz przepraszam wszystkich urażonych odkopaniem starego tematu, jednak uważam że jeśli to forum ma pełnić funkcję dydaktyczną i pomagać ludziom w zrozumieniu zagadnień matematyki to nie może wprowadzać w błąd nieścisłościami w obliczeniach.

ODPOWIEDZ