Matematyka.pl

Niech f będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje największą wartość funkcji \(\displaystyle{ g(x)=x^{2}-(m^{2}-4)x}\) w przedziale <-1,1>. Podaj wzór funkcji f oraz sporządź jej wykres.

Nawet nie wiem jak za to się zabrać bo nie rozumiem treści tego zadania będę wdzięczny za szybką pomoc

Ponieważ współczynnik przy drugiej potędze x jest dodatni funkcja przyjmuje w wierzchołku minimum, zatem maksimum w danym przedziale to wartość w punkcie tego przedziału najbardziej oddalonym od wierzchołka. Oczywiście \(\displaystyle{ x_{w}=\frac{-b}{2a}=\frac{m^{2}-4}{2}}\). Jeśli wierzchołek znajduje się po lewej stronie środka przedziału to wartość maksymalną funkcja osiągnie na prawym końcu i na odwrót, jeśli na środku przedziału na obu końcach osiągnie identyczną. Mamy więc:
\(\displaystyle{ f(m)=\begin{cases} g(1) \textrm{ gdy } x_{w} \leq 0 \\ g(-1) \textrm{ gdy } x_{w}>0 \end{cases}}\)

Ustalamy warunek: \(\displaystyle{ \frac{m^{2}-4}{2} \leq 0 \iff m^{2}\leq 4 \iff m \in <-2;2>}\), a zatem mamy: \(\displaystyle{ f(m)=\begin{cases} g(1) \textrm{ gdy } m \in <-2;2> \\ g(-1) \textrm{ gdy } m \in \mathbb{R} \backslash<-2;2> \end{cases} \iff f(m)=\begin{cases} -m^{2}+5 \textrm{ gdy } m \in <-2;2> \\ m^{2}-3 \textrm{ gdy } m \in \mathbb{R}\backslash<-2;2>\end{cases}}\)

ok zaczynam rozumieć. oczywiście może być też \(\displaystyle{ f(m) = \begin{cases} g(1) \hbox{ dla } x_{w}<0\\g(-1) \hbox{ dla } x_{w} \geqslant 0\end{cases}}\) prawda? Skoro gdy \(\displaystyle{ x_{w}=0}\) to wartość maksymalna jest na obu końcach przedziału?

Dokładnie

wytłumaczyłeś - pomogłeś dzięki!