Matematyka.pl

Kasia ma 99 czerwonych korali, 2 niebieskie i 1 biały. Na ile sposobów może naniżać koraliki na żyłkę, tworząc dla siebie naszyjnik, jeśli korale tego samego koloru uznajemy za nierozróżnialne i każde ułożenie różniące się wyłącznie obrotem lub symetrią osiową uznajemy za takie samo ?

Dlaczego ? Mógłbyś uzasadnić ? Bo przede wszystkim nie widzę w tym rozwiązaniu uwzględnionej tej uwagi o tym, że ustawienie powstałe z obrotu innego to to samo ...

2 sposoby rozwiązania

1.Wszystkie koraliki możemy ustawić na 102! sposoby. Zamiana czerwonych koralików miejscami nic nie zmienia więc dzielimy wynik przez 99!, zamiana niebieskich koralikow miejscami tez nic nie zmienia więc dzielimy przez 2!, biały koralik jest jeden więc dla formalności możemy podzielić przez 1!.

2.Mamy 102 wolne miejsca na koraliki więc wkładamy na nie czerwone korale na 102 po 99 sposobów.
Zostają nam 3 wolne miejsca więc wkładamy niebieskie koraliki na 3 po 2 sposobów. Biały koralik wkładamy na ostatnie miejsce.

Wynik wyjdzie taki sam w dwoch przypadkach.

Jezeli dalej uwazasz ze nie jest dobrze tzn ze moglem zle zrozumiec zadanie

Wydaje mi się ok gdyby nie było założenia o tych obrotach. Jeśli jest, to tych ustawień będzie mniej , moim zdaniem trzeba to jeszcze podzielić przez 2.

Przyjmujemy biały za pierwszy (problem obrotu z głowy).
Zostaje 101 miejsc i 2 niebieskie.
\(\displaystyle{ {101 \choose 2}}\)

Mnie wyszlo, z uzyciem Lematu Burnside'a, \(\displaystyle{ \mbox{ }2550}\).

Rachunek, bardzo podobny do zastosowanego w tamtym temacie, przyklad 2, konczy sie czyms takim:

\(\displaystyle{ \frac{N(1)+51\cdot N(s)}{204}=\frac{102\cdot\binom{101}{2}+51\cdot 100}{204}=2550}\),

gdzie

\(\displaystyle{ 102\cdot\binom{101}{2}}\) to liczba wszystkich kolorowan bez uwzglednienia symetrii i obrotow,

\(\displaystyle{ N(1)}\) oznacza liczbe kolorowan stalych ze wzgledu na identycznosc, czyli liczbe wszystkich kolorowan powyzej, \(\displaystyle{ 102\cdot\binom{101}{2}}\)

\(\displaystyle{ N(s)}\) to liczba kolorowan stalych ze wzgledu na jedna z symetrii wzgledem osi laczacych przeciwlegle wierzcholki naszyjnika. Jest ich \(\displaystyle{ 100=2\cdot 50}\) - ustalamy, w ktorym wierzcholku na osi lezy koral bialy, nastepnie wybieramy jedno z 50-ciu miejsc na prawo dla niebieskiego, zas drugi niebieski musi stac symetrycznie. Takich symetrii jest 51.

Pozostale symetrie nie maja punktow stalych, wiec ruszaja koral bialy.

Oba rozumowania powyzej sa zle, o czym mozna sie przekonac rozwazajac 4 korale, (jeden czerwony, dwa niebieskie, jeden bialy) zamiast 102 - pierwsze rozumowanie daje wynik 12 a drugie 3, podczas, gdy w oczywisty sposob jest tylko jedno ustawienie dla 4 korali.

Dla 4 korali, czyli w przypadku, w ktorym mozna bylo sprawdzic rozumowanie, rachunek z tw Burnside'a wyglada tak:

\(\displaystyle{ \frac{N(1)+2\cdot N(s)}{8}=\frac{4+2\cdot 2}{8}=1}\)