Matematyka.pl

Zbadać, czy jest zbieżny:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos^2n!}{2^n}}\)

thx

\(\displaystyle{ \frac{cos^2n!}{2^n} \frac{1}{2^n}}\)

a taki szereg :

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{1}{2^n}}\) jest zbiezny. Zatem na mocy kryterium porownawczego nasz szereg wyjsciowy jest zbiezny.

A z d`alemberta mozna skorzystac? Jesli jak to jak to rozwiazac? I dlczego w liczniku jest 1?

w liczniku jest 1 , bo dla kazdego x:cosx<1. ja tam bym sie nie bawil z D' Alemberta. gdyby silnia stala jako wyraz wolny to tak , ale mamy cosn!...

A taki szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{}\frac{(-1)^n * 2}{n^2+1}}\)?

jest zbiezny bezwzglednie. jak nalozymy na ten szereg wartosc bezwzgledna to bedziemy mieli taki szereg:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{2}{ n^{2}+1 }}\) no a taki szereg jest zbiezny. (sprawdz to sobie , skorzystaj z kryterium porownawczego np)

Mam prosbe, mozesz wytlumaczyc na jak dziala to k.porownawczE? Niemoge go zrozumiec.

mamy 2 szeregi o wyyrazach dodatnich:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } a_{n}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } b_{n}}\)

jesli: \(\displaystyle{ a_{n} b_{n}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } b_{n}}\) zbiezny to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } a_{n}}\) jest zbiezny.

jesli: \(\displaystyle{ a_{n} b_{n}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } b_{n}}\) rozzbiezny to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } a_{n}}\) jest rozbiezny.

No ok to znam, tylko skad ten drugi szereg sie bierze? sry za glupie pytania, ale nie lubie ciagow/szeregow ;/ a nie dlugo mam kolo. dzieki

Kryterium porównawcze mówi, tyle że, możemy na podstawie innych szeregów, rozpatrywać nasz szereg np.
Nasz szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{2}{ n^{2}+1 }}\)

Zamiast tego bierzemy szereg "większy". Mniejszy mianownik to większy ułamek.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{2}{ n^{2} } jest zb.}\)

Wiemy, że szereg \(\displaystyle{ \frac{1}/{n^2}}\) zbieżny (jak ktoś nie wie, to użyje kryterium zagęszczeniowego).

I teraz korzystamy z kryterium porównawczego. wiemy, że szereg "większy" od naszego jest zbieżny, czyli nasz szereg też jest zbieżny.

Działa to też w drugą stronę, jeśli weżniemy szereg mniejszy od naszego i okaże się on rozbieżny, to nasz szereg również będzie rozbieżny.

sami go wymyslamy ,szacujac wyrazy danego ciagu:D

Dobra, to mam 3 szeregi i jak je rozwiazac:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{n}{ln(n^2+2)}
\frac{1}{ \sqrt{n}cos \frac{1}{n} }
ntg \frac{1}{n^2}}\)

Sry ze tyle przykladow, ale ja sie ucze analizujac przyklady, a na zajeciach malo ich robimy.

tak kombinuje, ale cos 1/n dąży do 1 i jest ciagle dodatni:

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{n} } \frac{1}{ \sqrt{n}cos \frac{1}{n} }}\)

Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{n}}}\) jest rozbieżne. Więc na mocy kryterium porównawczego szereg większy jest rozbieżny. Choć to szacowanie powyższe niezbyt mi się podoba.

Zgadza sie, jest rozbiezny. A jak obliczyc te dwa pozostale?

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{n}{ln(2*n^2)} \le \sum_{}^{} \frac{n}{ln(n^2+2)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{n}{ln(2*n^2)} k.zagęsz \frac{2*2^n}{2(n+1)ln(2)} k.cauchego \frac{2}{1*1}>1}\)

szereg mniejszy rozb. zatem z k. porównawczego szereg większy rozbieżny. Też jakos to dziwnie poszło, ale chyba dobrze.