równania różniczkowe liniowe
: 9 sty 2009, o 12:12
Zamieszczam tu wzory na rozwiązania równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu. Wzory te są przydatne do szybkiego podania rozwiązania, zwłaszcza równań niejednorodnych.
Równanie postaci
gdzie \(\displaystyle{ a\colon I\to\mathbb{R}}\) jest funkcją ciągłą określoną na przedziale \(\displaystyle{ I\subset\mathbb{R}}\), nazywamy równaniem liniowym jednorodnym. Jego rozwiązaniem jest rodzina funkcji określonych wzorem
gdzie \(\displaystyle{ A\colon I\to\mathbb{R}}\) jest dowolną ustaloną funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ a}\), zaś \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R}}\) jest dowolną liczbą.
Równanie postaci
gdzie \(\displaystyle{ a,b\colon I\to\mathbb{R}}\) są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale \(\displaystyle{ I\subset\mathbb{R}}\), nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym. Jego rozwiązaniem jest rodzina funkcji określonych wzorem
gdzie \(\displaystyle{ A\colon I\to\mathbb{R}}\) jest dowolną ustaloną funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ B\colon I\to\mathbb{R}}\) jest dowolną ustaloną funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ I\ni x\mapsto b(x)e^{-A(x)}}\), zaś \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R}}\) jest dowolną liczbą.
Dla każdego z powyższych równań zachodzi zagadnienie Cauchy'ego, tzn. przez dowolny punkt płaszczyzny przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie równania.
Równanie postaci
\(\displaystyle{ y'=a(x)y}\),
gdzie \(\displaystyle{ a\colon I\to\mathbb{R}}\) jest funkcją ciągłą określoną na przedziale \(\displaystyle{ I\subset\mathbb{R}}\), nazywamy równaniem liniowym jednorodnym. Jego rozwiązaniem jest rodzina funkcji określonych wzorem
\(\displaystyle{ \varphi_C(x)=Ce^{A(x)}}\),
gdzie \(\displaystyle{ A\colon I\to\mathbb{R}}\) jest dowolną ustaloną funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ a}\), zaś \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R}}\) jest dowolną liczbą.
Równanie postaci
\(\displaystyle{ y'=a(x)y+b(x)}\),
gdzie \(\displaystyle{ a,b\colon I\to\mathbb{R}}\) są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale \(\displaystyle{ I\subset\mathbb{R}}\), nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym. Jego rozwiązaniem jest rodzina funkcji określonych wzorem
\(\displaystyle{ \varphi_C(x)=(B(x)+C)e^{A(x)}}\),
gdzie \(\displaystyle{ A\colon I\to\mathbb{R}}\) jest dowolną ustaloną funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ B\colon I\to\mathbb{R}}\) jest dowolną ustaloną funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ I\ni x\mapsto b(x)e^{-A(x)}}\), zaś \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R}}\) jest dowolną liczbą.
Dla każdego z powyższych równań zachodzi zagadnienie Cauchy'ego, tzn. przez dowolny punkt płaszczyzny przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie równania.