Matematyka.pl

Witam!
Czy mógłby mi ktoś podać jakąś stronkę z przykładami jak należy zabrać się za badanie zbieżności szeregów zespolonych? Nie udało mi się dotrzeć do żadnych przykładów.
Ewentualnie wyłożyć łopatologicznie jak zbadać zbieżność np. takiego szeregu: \(\displaystyle{ \bigsum_{n=1}^{\infty}(\frac{\sqrt{3}+j}{2+3j})^{n}}\)
lub takiego: \(\displaystyle{ \bigsum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}+\frac{2j}{n^{2}})}\)

czy ktoś może pomóc ??

szereg \(\displaystyle{ \sum (a_n+b_nj)}\) jest zbieżny wtw. szeregi \(\displaystyle{ \sum a_n}\) i \(\displaystyle{ \sum b_n}\) są zbieżne. w drugim przypadku widać rozbieżność, bo szeregiem \(\displaystyle{ \sum a_n}\) jest rozbieżny szereg \(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n}}\).

pierwszy przypadek to zwyczajny szereg geometryczny - jest on zbieżny wtw. \(\displaystyle{ |\frac{\sqrt{3}+j}{2+3j}|}\)

thx za powyższe!!

a czy możecie mi napisać jak to rozpykać:

\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{ } \frac{(1-j) ^{2n} }{n!}}\)

dzięki raz jeszcze
warka

tu możesz skorzystać z "gotowca". funkcja

\(\displaystyle{ e^z=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}}\) jest okreslona dla dowolnego zespolonego z - szereg ten jest zbieżny. zbieżny też jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{z^n}{n!}=e^z-1}\) podstawiając \(\displaystyle{ z=(1-j)^2}\) masz
\(\displaystyle{ e^{(1-j)^2}-1=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{((1-j)^2)^n}{n!}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(1-j)^2^n}{n!}}\)

masz racje z tym gotowcem, ale mi niestety sa potrzebne oblicznenia metodą z \(\displaystyle{ \lim_{ n\to }}\)

i mam jeszcze jeden przyklad:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{2 ^{n+2} }{2 ^{n} +2}}\)

zbieżność można uzasadnić za pomocą wersji kryterium d'Alamberta: jeżeli \(\displaystyle{ lim |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|}\), to szereg jest zbieżny. mamy:

\(\displaystyle{ |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{(1-j) ^{2n+2} }{(n+1)!}:\frac{(1-j) ^{2n} }{n!}|=|\frac{(1-j)^2}{n+1}|\to_{n\to\infty} 0}\).

a podany przez Ciebie ciąg dąży do 0 - dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 2^n}\): \(\displaystyle{ \frac{2^{n+2}}{2^n+2}=\frac{2^{2}}{1+\frac{2}{2^n}}\to_{n\to\infty} 4}\).

klaustrofob pisze:szereg \(\displaystyle{ \sum (a_n+b_nj)}\) jest zbieżny wtw. szeregi \(\displaystyle{ \sum a_n}\) i \(\displaystyle{ \sum b_n}\) są zbieżne. w drugim przypadku widać rozbieżność, bo szeregiem \(\displaystyle{ \sum a_n}\) jest rozbieżny szereg \(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n}}\).

pierwszy przypadek to zwyczajny szereg geometryczny - jest on zbieżny wtw. \(\displaystyle{ |\frac{\sqrt{3}+j}{2+3j}|<1}\). jest to prawdą, bo \(\displaystyle{ |\frac{\sqrt{3}+j}{2+3j}|=\frac{|\sqrt{3}+j|}{|2+3j|}=\frac{\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{2}{\sqrt{13}}}\)

Nie wykluczone, że zabrzmi to ignorancko, ale czy j nie jest tu tzw. jednostką urojną, a jeśli tak czy w tym równaniu \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}}{\sqrt{2^2+3^2}}}\) od 3 pod pierwiastkiem nie powinna być odjęte, a nie dodane 1 (podobna sytuacja w mianowniku)?