Matematyka.pl

Wykaż, że jeżeli współczynniki a, b, c, d wielomianu W(x) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to wielomian ma trzy pierwiastki.
\(\displaystyle{ W(x) = ax ^{3} - bx^{2} - cx + d}\)

mój pomysł na to zadanie był taki, żeby porównać ten wielomian do postaci iloczynowej wielomianu stopnia 3, jednak zaczeły mi wychodzic cuda wianki i strasznie dużo mnozenia i liczenia a to zadanie tylko za 5pkt maturalnych

Zastanawiam się czy to zadanie mozna tak rozwiązać:

a, b, c, d wielomianu W(x) są kolejnymi liczbami naturalnymi

zatem:
\(\displaystyle{ a=1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ d = 4}\)
czyli:
\(\displaystyle{ W(x) = x^3 - 2x^2 - 3x +4}\)
No i teraz wystarczy tylko znaleźć te pierwiastki.

no tak, ale tym sposobem sprawdzasz tylko jeden przypadek
nie ma dokladnie określonych liczb, wiemy tylko że są one kolejnymi naturalnymi. Powinno być raczej tak:
\(\displaystyle{ a=a}\)
\(\displaystyle{ b=a+1}\)
\(\displaystyle{ c=a+2}\)
\(\displaystyle{ d=a+3}\)

no ale mówie, że mój sposób jest bardzo czasochłonny

Podstawienie dobre - potem wystarczy tylko coś zauważyć... Oblicz \(\displaystyle{ W(1)}\)

W(1) to suma współczynników min.
wychodzi 0. czyli 1 jest pierwiastkiem, tyle mi wyszło po wymnażaniu i grupowaniu i wyciąganiu. dokładniej:
\(\displaystyle{ (x-1)(ax^{2} -x-a-3)=0}\)
tylko później wychodzi delta dziwna i warunek, ze a musi być w konkretnym przedziale, czyli źle

\(\displaystyle{ \Delta=1-4*a*(-a-3)=1+4a(a+3)>0}\)
Wielomian ma 3 pierwiastki co było do udowodnienia.

i licząc deltę z delty ;P wychodzi, że
\(\displaystyle{ a \in (- \infty , - \frac{3}{2} - \sqrt{2} ) \cup (- \frac{3}{2} , + \infty )}\)
wiemy z treści zadania, że \(\displaystyle{ a \in N}\) czyli wszystko się zgadza, faktycznie

Nie musisz liczyć delty z delty. Jeśli współczynniki są naturalne to \(\displaystyle{ a \geq 1}\)