całka - zweryfikowanie wyniku

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Arxas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 9 sty 2008, o 03:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 13 razy

całka - zweryfikowanie wyniku

Post autor: Arxas » 8 sty 2009, o 00:19

Zadanie: obliczyć całkę nieoznaczoną:

\(\displaystyle{ \int \frac{e^{-2x}-4}{e^{-x}+2}dx}\)

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \int \frac{e^{-2x}-4}{e^{-x}+2}dx=\int \frac{(e^{-x}-2)(e^{-x}+2)}{e^{-x}+2}dx=\int(e^{-x}-2)dx=\int e^{-x}dx+\int-2dx=e^{-x}-2x+C}\)

Wynik podany w książce jest jednak nieco inny i wygląda tak:

\(\displaystyle{ ...=-e^{-x}-2x+C}\)

Prosiłbym o wskazanie ewentualnego błędu w moim rozwiązaniu - wygląda na to, że nie do końca wiem, jak wygląda funkcja pierwotna z e do potęgi -x. Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 8 sty 2009, o 06:50 przez Arxas, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
kuch2r
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2303
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

całka - zweryfikowanie wyniku

Post autor: kuch2r » 8 sty 2009, o 00:23

\(\displaystyle{ \int e^{-x}\mbox{ dx}=-e^{-x} +C}\)

Arxas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 9 sty 2008, o 03:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 13 razy

całka - zweryfikowanie wyniku

Post autor: Arxas » 8 sty 2009, o 00:27

Ta po prostu i jest i mam to przyjąć do wiadomości, czy jest jakieś wytłumaczenie, dlaczego tak to wygląda?

Awatar użytkownika
kuch2r
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2303
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

całka - zweryfikowanie wyniku

Post autor: kuch2r » 8 sty 2009, o 00:32

troche łopatologii , skoro nalegasz
wiemy, ze
\(\displaystyle{ \int e^{x}\mbox{ dx}=e^{x}+C}\)
Zatem rozważmy
\(\displaystyle{ \int e^{-x} \mbox{dx}}\)
Dokonajmy podstawienia
\(\displaystyle{ -x=t}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \mbox{dx}=-\mbox{dt}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \int e^{-x} \mbox{dx}=\int -e^{t}\mbox{dt}=-e^{t}+C_1=-e^{-x}+C_2}\)

Arxas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 9 sty 2008, o 03:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 13 razy

całka - zweryfikowanie wyniku

Post autor: Arxas » 8 sty 2009, o 01:02

No, teraz już wszystko rozumiem Bardzo dziękuję.

ODPOWIEDZ