Wykazać niewymierność.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
Noegrus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 116
Rejestracja: 1 kwie 2007, o 12:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 2 razy

Wykazać niewymierność.

Post autor: Noegrus » 7 sty 2009, o 21:13

Wykazać, że jeżeli liczba naturalna p nie jest kwadratem liczby naturalnej, to \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) jest liczbą niewymierną.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wykazać niewymierność.

Post autor: Crizz » 7 sty 2009, o 21:40

Załóżmy, ze pewne \(\displaystyle{ p\in N}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej i \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) jest liczbą wymierną. Wówczas istnieją takie \(\displaystyle{ m,n\in C,n 0}\), że
\(\displaystyle{ \sqrt{p}=\frac{m}{n}}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ n^{2} p=m^{2}}\).

Skoro p nie jest kwadratem liczby naturalnej, to istnieje taka liczba pierwsza q, która wchodzi do rozkładu p na czynniki pierwsze z wykładnikiem nieparzystym. Z kolei wszystkie liczby pierwsze wchodzą do rozkładu \(\displaystyle{ m^{2}}\) i \(\displaystyle{ n^{2}}\) na czynniki pierwsze z wykładnikami parzystymi. Niech q wchodzi do rozkładu liczb \(\displaystyle{ m^{2},n^{2},p}\) odpowiednio z wykładnikami \(\displaystyle{ 2a,2b,2c+1}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c\in C}\). Wówczas q wchodzi do rozkładu liczby \(\displaystyle{ n^{2} p}\) na czynniki pierwsze z wykładnikiem \(\displaystyle{ 2b+2c+1}\), natomiast do rozkładu liczby \(\displaystyle{ m^{2}}\) z wykładnikiem \(\displaystyle{ 2a}\). Te wykładniki są różne, gdyż pierwszy z nich jest nieparzysty, a drugi parzysty. Otrzymaliśmy sprzeczność (z zasadniczym twierdzeniem arytmetyki).

Awatar użytkownika
Noegrus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 116
Rejestracja: 1 kwie 2007, o 12:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 2 razy

Wykazać niewymierność.

Post autor: Noegrus » 7 sty 2009, o 21:49

Dziękuję

ODPOWIEDZ