Zbadać ciągłość funkcji

[jaamateo]

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} ft| x ^{2} -1\right| \mbox{ dla x nie nalezacego do }\mathbb{Q} \\ 1 \mbox{ dla x nalezacego do } \mathbb{Q} \end{cases}}\)

[bedbet]

Niech dane będą dwa dowolnie bliskie sobie punkty \(\displaystyle{ x,y}\), takie, że \(\displaystyle{ y\in\mathbb{Q} \ , \ x\not\in\mathbb{Q}}\). Mamy zatem:

\(\displaystyle{ ||x^2-1|-1|\geqslant |-1|=1}\),

a ponieważ zgodnie z wyborem punktów \(\displaystyle{ x,y}\) zachodzi \(\displaystyle{ |x-y|}\)

[miodzio1988]

funkcja jest nieciagla w punktach R\{-1,1} (dowodzimy z definicji Hainego: bierzemy najpierw ciag liczb nalezacych do Q a pozniej ciag liczb nie nalezacych do Q) . Funkcja jest ciagla w punktach 1 i -1 (dowod z definicji Cauchy'ego)

[JankoS]

Funkcja jest ciagla w punktach 1 i -1 (dowod z definicji Cauchy'ego)

Co by sugerowało, że w jakimś nepustym sąsiedztwie liczby 1 są same liczby wymierne.