udowodnij twierdzenie, trapez

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
mateusz.ex
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 16 wrz 2008, o 20:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: gradowa
Podziękował: 357 razy

udowodnij twierdzenie, trapez

Post autor: mateusz.ex » 7 sty 2009, o 20:23

jeżeli połaczmy srodki ramion dowolnego trapezy to otrzymamy odcinek równoległy do podstaw trapezu o długości równej sredniej arytmetycznej długości podstaw.

udowodnij twierdzenie

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

udowodnij twierdzenie, trapez

Post autor: Crizz » 7 sty 2009, o 21:10



Uzupełniasz trapez do prostokąta. Z twierdzenia Talesa masz \(\displaystyle{ \frac{t}{h}=\frac{x}{2x}}\), czyli \(\displaystyle{ t=\frac{h}{2}}\), a także \(\displaystyle{ \frac{z}{h}=\frac{y}{2y}}\), czyli \(\displaystyle{ z=\frac{h}{2}}\). Stąd \(\displaystyle{ z=t}\), czyli czworokąt ABCD jest prostokątem, a CD jest równoległy do obu podstaw.

[ Dodano: 7 Stycznia 2009, 21:13 ]
Niech podstawy trapezu mają długości a i b. Odcinek CD dzieli trapez na dwa trapezy, zatem pole wyjściowego trapezu można traktować jako sumę pól tych trapezów: \(\displaystyle{ S=\frac{(a+|CD|) h}{4}+\frac{(b+|CD|) h}{4}}\). Z drugiej strony, \(\displaystyle{ S=\frac{(a+b) h}{2}}\). Porównując te dwa wzory, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ |CD|=\frac{a+b}{2}}\).

mateusz.ex
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 16 wrz 2008, o 20:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: gradowa
Podziękował: 357 razy

udowodnij twierdzenie, trapez

Post autor: mateusz.ex » 7 sty 2009, o 21:47

za bardzo tego nie rozumie, nie da sie tego jakos prosciej udowdnic, to zadanie miałam w dziale z wektorami?

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

udowodnij twierdzenie, trapez

Post autor: Crizz » 7 sty 2009, o 22:26

Oznacz sobie "lewy dolny" wierzchołek trapezu przez A, potem obiegiem lewostronnym kolejne wierzchołki jako B, C i D, potem środek "prawego" ramienia oznacz przez E, a "lewego" przez F.

(wszystko w poniższych równaniach to wektory)

Zachodzi \(\displaystyle{ EF=EB+BA+AF}\) oraz \(\displaystyle{ EF=EC+CD+DF}\)

Po dodaniu tych równości stronami, dostajemy \(\displaystyle{ 2EF=EB+BA+AF+EC+CD+DF}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ EB=-EC,AF=-DF}\), to \(\displaystyle{ 2EF=BA+CD}\). Stąd mamy tezę zadania.

ODPOWIEDZ