na ile sposobów?

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
mateoo99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 18 paź 2008, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: radom

na ile sposobów?

Post autor: mateoo99 » 7 sty 2009, o 18:45

Na ile sposobów można przedstawić 1000 jako sumę kolejnych liczb naturalnych ?

silvaran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1300
Rejestracja: 6 sty 2009, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Warszawa
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 123 razy

na ile sposobów?

Post autor: silvaran » 7 sty 2009, o 20:50

napewno na mniej niż 999, wiec spoko, zadanie jest do zrobienia
ja juz widzę jeden sposób
198 199 200 201 202
napewno ilośc liczb za pomocą których zapiszesz ten 1000 musi być nieparzysta
dzielisz sobie 1000 prze daną liczbę, jak Ci wychodzi naturalna to bierzesz ja jako "środkową" i dopisujesz po tyle samo przed nią i po.
zobacz dla 5
1000/5 = 200
198 199 200 201 202

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

na ile sposobów?

Post autor: Swistak » 7 sty 2009, o 21:29

Nie musi być nieparzysta ta liczba ;P.
Np taki ciąg:
55+56+57+58+59+60+61+62+63+64+65+66+67+68+69+70=1000
Należy tu rozpatrzyć dwa rodzaje ciągów.
Jeden rodzaj, gdy mamy nieparzystą liczbę wyrazów. Jeżeli środkowy wyraz ma wartość n, a liczba wyrazów, to 2a+1, to suma wyrazów ciągu, to (2a+1)n, a najmniejszy wyraz, to n-a.
Jeżeli \(\displaystyle{ (2a+1)n=1000=2^{3} 5^{3}}\), to 2a+1 może przyjmować wartości 1, 5, 25 lub 125. Dla 1 to nie będzie suma liczb, bo będzie jedna liczba , dla 5 to będzie ciąg, który przedstawił silvaran, dla 2a+1=25, a=12 i n=40 i będzie to ciąg od 28 do 52, dla 2a+1=125 to n=8, ale wtedy n-a=-117, ale -117 nie jest liczbą naturalną. Dla tego rodzaju mamy, więc dwa takie ciągi.
Drugi rodzaj, gdy mamy parzystą liczbę wyrazów. Jeżeli dwa środkowe wyrazy mają wartość n i n+1, łączna liczba wyrazów, to 2a, to suma wyrazów, to a(2n+1), a najmniejszy wyraz ma wartość n-a+1. Podobnie 2n+1 może przyjmować wartości 1, 5, 25 i 125. Dla 2n+1=1, n=0, a=1000, więc najmniejszy wyraz nie będzie naturalny, dla 2n+1=5, n=2, a=200, więc najmniejszy wyraz znowu nie będzie naturalny, dla 2n+1=25, n=12, a=40, więc najmniejszy wyraz znowu nie będzie naturalny, dla 2n+1=125, n=62 i powstaje ciąg, który podałem na początku postu.
Mamy zatem 3 takie ciągi.

ODPOWIEDZ