Parametr p

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
moniczkaam
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 141
Rejestracja: 26 gru 2008, o 13:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Debica / Krakow
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 23 razy

Parametr p

Post autor: moniczkaam » 7 sty 2009, o 18:23

Dla jakich wartości parametru p równanie
\(\displaystyle{ x ^{3} + px +1 =0}\)
ma dokladnie jeden pierwiastek rzeczywisty?

rumcajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 14 gru 2008, o 00:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rz
Pomógł: 7 razy

Parametr p

Post autor: rumcajs » 7 sty 2009, o 23:30

Weź sobie funkcję \(\displaystyle{ y=x^3+px+1}\) Szukasz jej miejsc zerowych.
Zauważ, że w funkcja ta rośnie od minus nieskończoności i w zależności od p ma ekstrema lub nie. Gdy nie ma ekstremów, jest ciągle rosnąca i ma tylko jedno miejsce zerowe. Gdy ma ekstremum, idąc w stronę rosnących wartości x: ma maksimum, minimum i dalej dąży do plus nieskończoności.
Liczysz pierwszą pochodną:
\(\displaystyle{ y'=3x^2+p}\) Przyrównujesz ją do zera:
\(\displaystyle{ 3x^2+p=0 \\ x^2=-\frac{p}{3} \\ x=\pm\sqrt{ -\frac{p}{3}}}\)
Funkcja nie ma ekstremum gdy \(\displaystyle{ p \le 0}\)
Gdy ma ekstrema , żeby miała tylko jedno miejsce zerowe potrzeba, by wartość funkcji w minimum była większa od 0.
Minimum będzie dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{-\frac{p}{3}}}\)
Masz teraz do rozwiązania nierówność
\(\displaystyle{ (\sqrt{-\frac{p}{3}})^3+p\sqrt{-\frac{p}{3}}+1>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{p}{3}\sqrt{-\frac{p}{3}}+p\sqrt{-\frac{p}{3}}+1>0}\)
Która rozwiażesz przez podstawienie
\(\displaystyle{ t=p\sqrt{-\frac{p}{3}}}\)

ODPOWIEDZ