Przekształcenie przestrzenii - Jądro i macierz przekszt. ?

[ŚwIeRsZcZ]

Witam ! Mam takie zadanie:
Wyznacz macierz przekszt, Jądro, dim Kerf , Obraz i rozmiar . Zatrzymałem się na liczeniu Jądra, więc nie wiem czy gdzieś jest jakiś błąd czy poprostu go nie ma , a więc tak:

zadanie:
\(\displaystyle{ f:R^{3} R^{4}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(2x-y+z , x+2y-z , -x+3y-2z , 8x+y+z)}\)

I) Macierz przekształcenia:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&1\\1&2&-1\\-1&3&-2\\8&1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x&-y&+z\\x&+2y&-z\\-x&+3y&-2z\\8x&+y&+z\end{bmatrix}}\)

II) Jądro

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x-y+z=0\\x+2y-z=0\\-x+3y-2z=0\\8x+y+z=0 \end{array}}\)

zapisuję ponownie macierz , tym razem rozszerzoną i liczę rząd macierzy.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&1 | 0\\1&2&-1 | 0\\-1&3&-2 | 0 \\8&1&1 | 0\end{bmatrix}}\)
Ostatecznie po przekształceniu rząd macierzy wyszedł mi 3 a sama macierz uproszona wygląda tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&1 | 0\\ 0& \frac{3}{2} & -\frac{3}{2} | 0\\0&0&\frac{7}{2} | 0 \\0&0&0 | 0\end{bmatrix}}\)
I teraz moje pytanie co dalej ? Parametrów wychodzi 0 , a z tej ostatniej macierzy wynika że \(\displaystyle{ x=y=z=0}\) Mam rację ? Może coś źle robię ? Dziękuję za pomoc

[JankoS]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&1 \\1&2&-1 \\-1&3&-2 \\8&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&2&-1 \\ 2&-1&1 \\-1&3&-2 \\8&1&1 \end{bmatrix} }\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&-1 \\ 0&-5&3 \\0&5&-3 \\0&-15&9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&2&-1 \\ 0&5&-3 \\0&-15&9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&2&-1 \\ 0&5&-3 \\0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&2&-1 \\ 0&5&-3 \end{bmatrix}}\)

[ŚwIeRsZcZ]

Ahhh... wszystko się wyjaśniło dziękuję... a takie pytanie jeszcze, jeśli by się zdarzyło że wyjdzie ilość parametrów 0, wtedy co ? Jądra nie ma ? Jest sprzeczność czy jak ? Jak to nazwać ?

[JankoS]

Ahhh... wszystko się wyjaśniło dziękuję... a takie pytanie jeszcze, jeśli by się zdarzyło że wyjdzie ilość parametrów 0, wtedy co ? Jądra nie ma ? Jest sprzeczność czy jak ? Jak to nazwać ?

Przekształcenie liniowe musi mięć jądro w "najgorszym" przypadku jest nim przestrzeń \(\displaystyle{ \{0\}.}\) Tak więc odpowiedni układ równań nie może być sprzeczny.