Matematyka.pl

Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, do którego należy przekątna podstawy i wierzchołek ostrosłupa, jest trójkątem równoramiennym o polu \(\displaystyle{ S=12 \sqrt{3}}\) i kącie przy podstawie \(\displaystyle{ \alpha =30 ^{o}}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Mamy przekątną podstawy, którą oznaczamy jako d
\(\displaystyle{ d= a \sqrt{2}}\)
wiemy, że kąt \(\displaystyle{ \alpha = 30 ^{o}}\)

więc układamy proporcję wykorzystując funkcje trygonometryczne:
\(\displaystyle{ \frac{H}{ \frac{ a\sqrt{2} }{2} } = tg 30 ^{o}}\)

\(\displaystyle{ \frac{H}{ \frac{ a\sqrt{2} }{2} } = \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
po rozwiązaniu wychodzi, że:
\(\displaystyle{ H= \frac{ a\sqrt{6} }{6}}\)

te dane postawiamy do wzoru na pole trójkąta
\(\displaystyle{ 12 \sqrt{3}= \frac{a \sqrt{2}* \frac{ a\sqrt{6} }{6} }{2}}\)
no i tu otrzymamy: \(\displaystyle{ a=6 \sqrt{2}}\)

teraz do wzoru, który otrzymaliśmy już wcześniej na wysokość (trójkąta= ostrosłupa) podstawiamy dane:
\(\displaystyle{ H= \frac{6 \sqrt{2}* \sqrt{6} }{6}}\)

\(\displaystyle{ H= 2 \sqrt{3}}\)

no i na koniec podstawiamy do wzoru na objętość ostrołupa
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}* (6 \sqrt{2}) ^{2} *2 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ V=48 \sqrt{3}}\)


Mam nadzieję, że pomogłam