Matematyka.pl

Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\). Sporządź odpowiedni rysunek. Oblicz pole tego przekroju.

Rozwiązanie jest tutaj: link wygasł
zadanie 16. Ale czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak obliczać wysokość tego trapezu oraz górną podstawę?
Z góry dzięki.

Wysokość trapezu
Wysokość sześcianu jest równa a
\(\displaystyle{ sin60^o= \frac{a}{h}\\
\frac{ \sqrt{3} }{2} =\frac{a}{h}\\
h= \frac{2a}{ \sqrt{3} } \\
h= \frac{2a \sqrt{3} }{3}}\)

Dziękuję. A jak wyliczono górną podstawę?

Trzeba chyba wyliczyć ramię trapezu.
Tyle, że sposób, który wymyśliłam jest pracochłonny.
A tam dali za tą podstawę tylko 1pkt, więc może jest coś prostszego?

[ Dodano: 6 Stycznia 2009, 21:46 ]
Rozwiązałam bez potrzeby liczenia ramienia. Nic lepszego nie wymyślę.

z trójkąta EIF
\(\displaystyle{ |EIF|=60^o\\
ctg60^o= \frac{|IF|}{|FE|}\\
|IF|=|FE|ctg60^o\\
|IF|= \frac{a \sqrt{3} }{3}}\)
Trójkąty A'C'D' i GHD' są podobne
\(\displaystyle{ \frac{|D'F|}{|A'C'|} = \frac{|D'I|}{|GH|}}\)
\(\displaystyle{ |D'F|= \frac{a \sqrt{2} }{2}}\)-połowa przekątnej kwadratu
\(\displaystyle{ |A'C'|=a \sqrt{2}}\)-przekątna kwadratu
\(\displaystyle{ |D'I|=|D'F|-|IF|=\frac{a \sqrt{2} }{2}- \frac{a \sqrt{3} }{3}= \frac{3a \sqrt{2}-2a \sqrt{3} }{6}= \frac{(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})a }{6}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{a \sqrt{2} }{2}}{a \sqrt{2}} = \frac{ \frac{(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})a }{6}}{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}= \frac{ \frac{(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})a }{6}}{b}\\
b=\frac{(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})a }{3}}\)

dziekuje Ci

Ktoś podał znowu to zadanie do rozwiązania, a ponieważ przyszedł mi do głowy chyba krótszy sposób obliczenia górnej podstawy, więc go podaję. Może komuś się przyda.

link wygasł

\(\displaystyle{ tg60^o=\frac{|D''D|}{|DE|}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3} =\frac{|D''D|}{ \frac{a \sqrt{2} }{2} } \Rightarrow |D''D|= \frac{a \sqrt{6} }{2}}\)

Z podobieństwa trójkątów DED'' i D'ID''
\(\displaystyle{ \frac{|D''D|}{|DE|} = \frac{|D''D'|}{|D'I|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{a \sqrt{6} }{2}}{\frac{a \sqrt{2} }{2}} = \frac{\frac{a \sqrt{6} }{2}-a}{|D'I|} \Rightarrow |D'I|= \frac{(3 \sqrt{2} -2 \sqrt{3} )a}{6}}\)

Trójkąt GHD' jest prostokątny i równoramienny.
\(\displaystyle{ |GH|=2|D'I|\\
|GH|=\frac{(3 \sqrt{2} -2 \sqrt{3})a }{3}}\)

No a pole mi wychodzi błędne z tego :/

długość podstawy dolnej:
\(\displaystyle{ a\sqrt2}\)
długość podstawy górnej
\(\displaystyle{ b=\frac{(3\sqrt2-2\sqrt3)a}{3}}\)
Wysokość:
\(\displaystyle{ h=\frac{2a\sqrt3}{3}}\)
Pole
\(\displaystyle{ P= \frac{2a^2( \sqrt{6} -1)}{3}}\)

Rysunek do postu z
6 sty 2009, o 20:19
i
6 sty 2009, o 20:50