Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

[liu]

Liczba \(\displaystyle{ K_0}\) jest stałą Khintchine'ta, którą można wyrazić również wzorem

\(\displaystyle{ K_0 = \prod_{r=1}^\infty {\left( 1+{1\over r(r+2)}\right)}^{\log_2 r} \approx 2.6854520010\ldots}\)

Angielska/francuska transkrypcja rosyjskich nazwisk potrafi czasem przyprawić o ból głowy. Ten matematyk miał na nazwisko Chinczyn:P

[Poszukujaca]

To ja jeszcze dorzucę pewien szereg, który bardzo lubię, bo od niego zaczęło się moje zrozumienie, że suma nieskończenie wielu składników może być skończona!

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{n}} =1}\)

[Gouranga]

mi przy rozumieniu szeregów pomogło to:

\(\displaystyle{ \sum _{n=0}^{\infty} a q^n = \frac{a}{1-q}}\)

[TheZerter]

1. Pole trójkąta równobocznego
\(\displaystyle{ P= \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{4}}\)

2. Jedynka trygonometryczna
\(\displaystyle{ \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1}\)

3. Przybliżona wartość
\(\displaystyle{ f\left( x_{0} + \Delta x, y_{0} + \Delta y \right) \approx f\left( x_{0},y_{0}\right) + \frac{ \partial f}{ \partial x}\left( x_{0},y_{0}\right) \Delta x + \frac{ \partial f}{ \partial y}\left( x_{0},y_{0}\right)\Delta y}\)

4. No i oczywiście wzór, z którym zaczęła się moja poważna przygoda z matematyką
\(\displaystyle{ \Delta = b^{2} - 4ac}\)

[a4karo]

Z czego składa się dzida bojowa?
Z przeddzidzia dzidy bojowej, śróddzidzia dzidy bojowej i zadzidzia dzidy bojowej.
Przeddzidzie dzidy bojowej składa sie przeddzidzia przeddzidzia dzidy bojowej, śróddzidzia przeddzidzia dzidy bojowej i zadzidzia przeddzidzia dzidy bojowej. itd...

Najpiekniejsze jest to, że zbiór Cantora to dzida bojowa bez śróddzidź...

[Kecart]

8. Ciekawa formuła dotycząca wszystkich kolejnych liczb pierwszych:

\(\displaystyle{ \prod_{p} \frac{p^2 +1}{p^2 - 1} = \frac{5}{2}}\)

a w tym twoim osmym to mimo ze dowod jest trywialny, to jest ladny i za to sobie ten wzorek cenie.

Jeśli nie sprawi to większego kłopotu, to czy ktoś mógłby podać ten dowód, albo chociaż jakiś link do dowodu?

A aby nie odbiegać od tematu podam dla mnie najciekawszy wzór:

\(\displaystyle{ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... = - \frac{1}{12}}\)

Zawsze, gdy o nim myślę czuje się nieswojo

[Alef]

A aby nie odbiegać od tematu podam dla mnie najciekawszy wzór:

\(\displaystyle{ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... = - \frac{1}{12}}\)

Zawsze, gdy o nim myślę czuje się nieswojo

I słusznie, bo jest nieprawdziwy. Suma liczb dodatnich musi być dodatnia.
Może w zapisie zgubiłeś jakieś minusy?

[leszczu450]

Alef, miłej lektury. viewtopic.php?t=354439,25

[a4karo]

A aby nie odbiegać od tematu podam dla mnie najciekawszy wzór:

\(\displaystyle{ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... = - \frac{1}{12}}\)

Zawsze, gdy o nim myślę czuje się nieswojo

I słusznie, bo jest nieprawdziwy. Suma liczb dodatnich musi być dodatnia.
Może w zapisie zgubiłeś jakieś minusy?

Obaj nie macie racji:
\(\displaystyle{ s=1+2+3+4+\dots=1+(2+3+4)+(5+6+7)+(8+9+10)+\dots=1+9(1+2+3+\dots)=1+9s}\),
a stąd
\(\displaystyle{ s=-\frac{1}{8}}\)


I takich zabawek można wymyślać w nieskończoność

[leszczu450]

To może już ostatni post off topu. Te rozbieżne to zawsze była zabawa

[Spektralny]

\(\displaystyle{ \mbox{Tr}(A) = \int\limits_B \langle Ax, x\rangle m(\mbox{d}x)}\)

gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą stopnia \(\displaystyle{ n}\), a \(\displaystyle{ m}\) jest znormalizowaną miarą Lebesgue'a na sferze jednostkowej \(\displaystyle{ B}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\), tzn. \(\displaystyle{ \mu(B)=1}\).

Mówiąc po ludzku, ślad (dla mnie zawsze ślad, to ślad unormowany) to wartość oczekiwana funkcji \(\displaystyle{ \langle Ax, x \rangle}\).

Zareklamuję trochę mój dowód, który ukaże się w Monthly

http://arxiv.org/pdf/1402.4272v1.pdf

[Glizdka]

\(\displaystyle{ e^{i\tau} = 1}\)

moim zdaniem wygląda lepiej niż \(\displaystyle{ e^{i\pi}+1 = 0}\)

Piękny wzór, swoją drogą to dzięki \(\displaystyle{ \tau}\) zrozumiałem \(\displaystyle{ \pi}\),
aż dziwi mnie, że w żadnym podręczniki nie ma koncepcji \(\displaystyle{ \tau}\), a szkoda.
Bo myślenie za pomocą \(\displaystyle{ \tau}\) zamiast \(\displaystyle{ \pi}\) wszędzie gdzie wchodzi trygonometria eliminuje "głupią pamięciówkę".

Choć bardzo lubię też wzór:
\(\displaystyle{ p = x^{2}-x+41}\)
gdzie: \(\displaystyle{ x\in\left\langle 0,40 \right\rangle}\)
generator 40 liczb pierwszych

[JakimPL]

Odwieczna dychotomia, jak Legia i Polonia, jak Wisła i Cracovia, jak \(\displaystyle{ \pi}\) i \(\displaystyle{ \tau}\).

[Jan Kraszewski]

Choć bardzo lubię też wzór:
\(\displaystyle{ p = x^{2}-x+41}\)
gdzie: \(\displaystyle{ \red{ x\in\left\langle 0,40 \right\rangle}}\)
generator 40 liczb pierwszych

Ciekawe, jaką liczbę pierwszą generuje dla \(\displaystyle{ x=\frac12...}\)

JK

[matematyk1995]

Glizdka zapomniał dodać, że \(\displaystyle{ x \in \NN \wedge x\in\left\langle 0,40 \right\rangle}\)