LXIV (64) OM - I etap

[HuBson]

błędy ortograficzne też sprawdzają? bo nie wiem jaki jest poziom czepialstwa
Kiedy będą wyniki z pierwszej serii?

[Mszak]

Będą wtedy, kiedy z drugiej i trzeciej, czyli pewnie jakoś w połowie stycznia.

[sympatyczny]

Termin I etapu właśnie minął, można pochwalić się rozwiązaniami?

[Panda]

Można.

[Ponewor]

No to może ja pierwszy się odważę, no chyba, że gdzieś na poczcie jest dziewiętnastogodzinna kolejka to przepraszam bardzo.

Zadanie 1.:    

Z uwagi na dodatniość \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) także \(\displaystyle{ w \neq 0}\). Z podanej w zadaniu równości otrzymujemy:

\(\displaystyle{ w \sqrt{x} - \sqrt{y} = x-wy \qquad (1)}\)
Prawa strona tej równości jako różnica iloczynów liczb wymiernych także jest wymierna. Oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ v}\):

\(\displaystyle{ w \sqrt{x} - \sqrt{y} = v \qquad (2)}\)
Po przeniesieniu na drugą stronę \(\displaystyle{ \sqrt{y}}\) i podniesieniu stronami do kwadratu mamy:

\(\displaystyle{ w^{2}x = v^{2}+ y + 2v\sqrt{y} \qquad (3)}\)
Załóżmy że \(\displaystyle{ v=0}\), wtedy z równań (2) i (1) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ w \sqrt{x} - \sqrt{y} = 0 \qquad (4)}\)
i

\(\displaystyle{ x-wy = 0 \qquad \qquad (5)}\)
skąd mamy:

\(\displaystyle{ w=\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{x}{y} \qquad (6)}\)
i tu uzyskujemy sprzeczność, bowiem z równania (6) można otrzymać równość \(\displaystyle{ x=y}\), która stoi w niezgodzie z załoźeniami zadania. Wobec tego \(\displaystyle{ v \neq 0}\). Z równania (3) mamy:

\(\displaystyle{ \frac{w^{2}x - y - v^{2}}{2v}=\sqrt{y} \qquad (7)}\)
Lewa strona równania (7) jako kombinacja sum i iloczynów liczb wymiernych jest liczbą wymierną. Oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ u}\). Wobec tego:

\(\displaystyle{ y = u^{2} \qquad (8)}\)
Co dowodzi połowy tezy zadania. Dalej z równania (2) mamy:

\(\displaystyle{ \sqrt{x}=\frac{v+u}{w} \qquad (9)}\)
Prawa strona tego równania jest jako iloraz liczb wymiernych liczbą wymierną. Oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ t}\). Zatem:

\(\displaystyle{ x=t^{2} \qquad (10)}\)
Co kończy dowód.

Zadanie 2.:    

\(\displaystyle{ \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.12,-0.52)(11.94,6.2)
\psline(5.4,0.82)(6.76,4.1)
\psplot{-1.12}{11.94}{(-2.72--3.28*x)/1.36}
\psline(1.16,0.8)(5.4,0.82)
\psplot{-1.12}{11.94}{(--17.25--0.02*x)/4.24}
\pscircle(4.64,3.06){2.36}
\psline(2.53,2.01)(6.76,4.1)
\psline(2.42,3.83)(3.91,0.81)
\psline(2.53,2.01)(5.4,0.82)
\psline(2.53,2.01)(3.91,0.81)
\psline(2.53,2.01)(1.16,0.8)
\psline(2.42,3.83)(2.53,2.01)
\psplot{-1.12}{11.94}{(--5.26-2.07*x)/0.01}
\psline(3.91,0.81)(2.52,4.08)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.4,0.82)
\rput[bl](5.47,0.92){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.76,4.1)
\rput[bl](6.83,4.2){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.16,0.8)
\rput[bl](1.02,0.9){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.52,4.08)
\rput[bl](2.65,4.19){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.64,3.06)
\rput[bl](4.7,3.18){\blue{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.53,2.01)
\rput[bl](2.6,2.18){\blue{$N$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.42,3.83)
\rput[bl](2.18,3.84){\blue{$L$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.91,0.81)
\rput[bl](3.97,0.92){\blue{$K$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.54,0.81)
\rput[bl](2.6,0.9){\blue{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}}\)
Z własności równoległoboku mamy \(\displaystyle{ \sphericalangle CDA = \sphericalangle ABC}\). Kąty \(\displaystyle{ NDA}\) i \(\displaystyle{ NBA}\) są oparte na średnicy, zatem: \(\displaystyle{ \sphericalangle NDA = \sphericalangle NBA = 90^{\circ}}\). Zatem zachodzi równość \(\displaystyle{ \sphericalangle CDN = \sphericalangle CBN}\). Punkt \(\displaystyle{ L}\) leży na ramieniu \(\displaystyle{ DC}\) kąta \(\displaystyle{ CDN}\), stąd \(\displaystyle{ \sphericalangle LDN = \sphericalangle CDN}\). Analogicznie \(\displaystyle{ \sphericalangle KBN = \sphericalangle CBN}\). Z przechodniości równości zachodzi \(\displaystyle{ \sphericalangle LDN = \sphericalangle KBN}\). Kąty \(\displaystyle{ LDN}\) i \(\displaystyle{ LKN}\) są oparte na tym samym łuku, więc ich miary są równe. Analogicznie równe są miary kątów \(\displaystyle{ KBN}\) i \(\displaystyle{ KLN}\). Z przechodniości równości zachodzi równość \(\displaystyle{ \sphericalangle NKL = \sphericalangle NLK}\), co oznacza, że trójkąt \(\displaystyle{ KLN}\) jest równoramienny i \(\displaystyle{ NK=NL}\). Wobec tego punkt \(\displaystyle{ N}\) leży na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ KL}\). Kąty \(\displaystyle{ KBN}\) i \(\displaystyle{ KDN}\) są oparte na tym samym łuku, czyli ich miary są równe, czyli \(\displaystyle{ \sphericalangle LDN = \sphericalangle KDN}\). Oznaczmy punkt przecięcia prostej \(\displaystyle{ DN}\) z odcinkiem \(\displaystyle{ BC}\) jako \(\displaystyle{ H}\). Skoro \(\displaystyle{ \sphericalangle NDA = 90^{\circ}}\) to oczywiście także \(\displaystyle{ \sphericalangle DHK = 90^{\circ}}\) i oczywiście \(\displaystyle{ \sphericalangle DHC = 90^{\circ}}\), bo \(\displaystyle{ AD \| BC}\). Trójkąty \(\displaystyle{ CDH}\) i \(\displaystyle{ KDH}\) mają wspólny bok \(\displaystyle{ DH}\), oraz kąty przy nim równe, są więc przystające, czyli ich odpowiednie boki są równe, a w szczególności \(\displaystyle{ HK=HC}\). Zatem prosta \(\displaystyle{ DH}\) jest symetralną odcinka \(\displaystyle{ CK}\), zaś punkt \(\displaystyle{ N}\) znajduje się własnie na niej. Punkt \(\displaystyle{ N}\) jest punktem przecięcia symetralnych odcinków \(\displaystyle{ KL}\) i \(\displaystyle{ CK}\). Z twierdzenia o symetralnych boków trójkąta, symetralna boku \(\displaystyle{ CL}\) takźe przechodzi przez ten punkt. Zatem punkt \(\displaystyle{ N}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ KCL}\), co było do udowodnienia.

Zadanie 3.:    

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) suma dodatnich dzielników jest równa \(\displaystyle{ 1}\), wobec tego jest liczbą nieparzystą i rzeczywiście mamy \(\displaystyle{ 1=1^{2}}\). Dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) rozważmy rozkład na czynniki pierwsze:

\(\displaystyle{ n = \prod_{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha_{i}} \qquad (1)}\)
Dodatkowo na mocy przemienności mnożenia, ustalmy, że \(\displaystyle{ p_{1}=2}\) (oczywiście dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego \(\displaystyle{ \alpha_{1}=0}\). Suma dodatnich dzielników jest równa:

\(\displaystyle{ \sigma(n) = \prod_{i=1}^{k} \sum_{j=0}^{\alpha_{i}}p_{i}^{j} \qquad (2)}\)
Wyprowadzenie tego wzoru można zaleźć choćby w dziele: "Wstęp do teorii liczb" Wacława Sierpińskiego. Żeby \(\displaystyle{ \sigma(n)}\) było nieparzyste, każdy czynnik powyższego iloczynu powinien być nieparzysty. Dla \(\displaystyle{ i=1}\) czynnik równy jest:

\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{\alpha_{1}}p_{1}^{j}=\frac{p_{1}^{\alpha_{1}+1}-1}{p_{1}-1}=\frac{2^{\alpha_{1}+1}-1}{2-1}=2^{\alpha_{1}+1}-1 \qquad (3)}\)
więc niewątpliwie jest liczbą nieparzystą. Dla \(\displaystyle{ i=2, \ 3, \ \ldots, \ k-1, \ k}\) liczba \(\displaystyle{ p_{i}}\) jest nieparzysta (bo jedyną parzystą liczbą pierwszą jest już wcześniej osobno rozważone \(\displaystyle{ 2}\)), zaś czynnik równy:

\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{\alpha_{i}}p_{i}^{j} \qquad (4)}\)
Dowolna naturalna potęga liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą, wobec tego powyższa suma jest sumą \(\displaystyle{ \alpha_{i}+1}\) liczb nieparzystych i jest nieparzysta wtedy gdy \(\displaystyle{ \alpha_{i}+1}\) jest nieparzyste. Stąd \(\displaystyle{ \alpha_{i}}\) jest liczbą parzystą dla \(\displaystyle{ i=2, \ 3, \ \ldots, \ k-1, \ k}\). Zatem istnieją takie naturalne \(\displaystyle{ \beta_{2}, \ \beta_{3}, \ \ldots, \ \beta_{k-1}, \ \beta_{k}}\), że \(\displaystyle{ \alpha_{i}=2\beta_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i=2, \ 3, \ \ldots, \ k-1, \ k}\).
Dla parzystego \(\displaystyle{ \alpha_{1}}\), jest takie naturalne \(\displaystyle{ \beta_{1}}\), że \(\displaystyle{ \alpha_{1}=2\beta_{1}}\) i mamy:

\(\displaystyle{ n = \prod_{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha_{i}}=\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{2\beta_{i}}=(\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{\beta_{i}})^{2} \qquad (5)}\)
Dla nieparzystego \(\displaystyle{ \alpha_{1}}\), jest takie naturalne \(\displaystyle{ \beta_{1}}\), że \(\displaystyle{ \alpha_{1}=2\beta_{1}+1}\) i mamy:

\(\displaystyle{ n = \prod_{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha_{i}}=2\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{2\beta_{i}}=2(\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{\beta_{i}})^{2}}\)
Co kończy dowód twierdzenia.

Zadanie 4.:    

Strategię wygrywającą ma Michał. W pierwszym ruchu powinien on narysować jedną z 2012-u najdłuższych przekątnych 2012-kąta foremnego. Wtedy podzieli figurę na dwie przystające figury. Od tej pory wystarczy, że będzie ''kopiował'' ruchy Jurka - wykonywał ich odbicia symetryczne względem narysowanej przez siebie na samym początku przekątnej. Dopóki ruchy będzie miał Jurek, dopóty i Michał będzie mógł kontynuować rozgrywkę przez ''skopiowanie'' ruchu Jurka. Gdy Jurkowi zabraknie ruchów, wtedy Michał wygra, a o to przecież nam chodziło. Gwarancję, że Jurkowi kiedyś zabraknie ruchów daje nam fakt, iż 2012-kąt posiada skończoną liczbę przekątnych.

[sympatyczny]

sorry, że w takiej formie, ale mam problemy z pdf-em

[Panda]

To po jednym zdaniu napiszę.
2.

Ukryta treść:    

Wychodzi na kątach w okręgu itp, ale najlepiej rozważać symetralną \(\displaystyle{ AB}\) i w ogóle wszystko zrzutować na \(\displaystyle{ AB}\) oprócz L i pokazać łatwo, że odległość od rzutu L do rzutu N jest taka, jak od rzutu N do rzutu C, analogicznie rozumujemy dla K i wychodzi teza.

4.

Ukryta treść:    

Najdłuższa przekątna i podkradanie strategii

3.

Ukryta treść:    

Ta suma to iloczyn sum kolejnych potęg czynników pierwszych.

[HuBson]

Zad. 1:    

Cz.1
Cz.2

Zad. 2:    

[url]http://tinypic.com/r/6gk8r9/6[/url]

Zad. 3:    

Cz.1 http://tinypic.com/r/14izhnp/6
Cz.2 http://tinypic.com/r/20h4rr7/6

Zad. 4:    

[url]http://tinypic.com/r/33e7vbp/6[/url]

Jak coś Wam się nie zgadza to piszcie
Ps. 4 Zadanie mam prawie tak samo zredagowane jak Ponewor
Mam nadzieję że nas nie zdyskwalifikują za to

[skazy]

Wysłałeś to w takiej formie? Pytam, bo w regulaminie OM napisali

Rozwiązania poszczególnych zadań należy redagować na oddzielnych arkuszach, zapisanych
jednostronnie, opatrzonych w lewym górnym rogu imieniem i nazwiskiem uczestnika. Dodatkowo,
w lewym górnym rogu każdego pierwszego arkusza rozwiązania danego zadania powinny znajdować
się adres domowy uczestnika oraz klasa, nazwa i adres szkoły, do której uczestnik uczęszcza.

[HuBson]

O adresie domowym zapomniałem napisać na kartkach, ale wysłałem kwestionariusz w którym
jest to napisane dołączony w kopercie .
Osobiści nie widzę sensu podpisywania się po 10 razy na kartkach i 10 razy podawania adresu zamieszkania.
Mogą mi unieważnić te zadania przez ten adres?
Edit: Na stronie Komitetu okręgowego w Krakowie jest napisane
tylko

Rozwiązania poszczególnych zadań należy nadsyłać na oddzielnych arkuszach papieru. Na początku rozwiązania każdego z nadesłanych zadań należy w lewym górnym rogu umieścić IMIĘ I NAZWISKO UCZESTNIKA, NAZWĘ SZKOŁY (wystarczy skrócona) oraz KLASĘ, do której uczęszcza. Poniżej zapisać numer zadania.

natomiast nie jest wspominane nic o adresie co mnie zmyliło

[humanistyczna dusza]

Ładne rozwiązanie zadania pierwszego, Ponewor. Tak się domyślałem, że musi być coś zgrabniejszego od moich 3 stron A4 jakiegoś dzikiego pałowania xD.

[przemos01]

O adresie domowym zapomniałem napisać na kartkach, ale wysłałem kwestionariusz w którym
jest to napisane dołączony w kopercie .
Osobiści nie widzę sensu podpisywania się po 10 razy na kartkach i 10 razy podawania adresu zamieszkania.
Mogą mi unieważnić te zadania przez ten adres?
Edit: Na stronie Komitetu okręgowego w Krakowie jest napisane
tylko

Rozwiązania poszczególnych zadań należy nadsyłać na oddzielnych arkuszach papieru. Na początku rozwiązania każdego z nadesłanych zadań należy w lewym górnym rogu umieścić IMIĘ I NAZWISKO UCZESTNIKA, NAZWĘ SZKOŁY (wystarczy skrócona) oraz KLASĘ, do której uczęszcza. Poniżej zapisać numer zadania.

natomiast nie jest wspominane nic o adresie co mnie zmyliło

Wiesz tu chodzi o to, że zawsze może się zdarzyć, że podczas sprawdzania jedna kartka się gdzieś zawieruszy - jak jest niepodpisana to lipa, bo sprawdzający raczej nie będzie przerzucać 100-200 prac, żeby dopasować do charakteru pisma, zwłaszcza że regulamin wyraźnie mówi o tym żeby podpisywać każdą stronę.

[HuBson]

Wiesz tu chodzi o to, że zawsze może się zdarzyć, że podczas sprawdzania jedna kartka się gdzieś zawieruszy - jak jest niepodpisana to lipa, bo sprawdzający raczej nie będzie przerzucać 100-200 prac, żeby dopasować do charakteru pisma, zwłaszcza że regulamin wyraźnie mówi o tym żeby podpisywać każdą stronę.

Ale ja to zrobiłem tak że każde rozwiązania z tych dwóch zadań 1 i 3 są na jednej kartce (wyrwanej z zeszytu A4) ale nie dzieliłem wyrywanych kartek tylko pisałem na pierwszej stroni i na trzeciej
bo poco w końcu miałbym rozrywać kartki żeby potem z powrotem tak jak jest napisane na stornie komitetu spinać
Edit: może prościej wytłumaczę kartka z rozwiązaniami zadania 1 to kartka formatu A3 złożona na pół
podobnie jak zadania 3 więc de facto na każdej kartce z rozwiązaniem jest moje imię i nazwisko.

[zbyszek96]

kurcze, a jak ja wysłałem z tymi adresami, szkołą itp na pierwszym zadaniu tylko, a reszta to imię i nazwisko? No mam nadzieję, że to nie komitet maturalny i nie zjedzą mnie za to.

[Wojteg]

Spokojnie, w zeszłym roku miałem taką samą sytuację. Napisałem maila czy będą jakieś konsekwencje i odpisali, że na pewno prace zostaną sprawdzone