Kangur Matematyczny 2012

[Lemo1597532846]

Co mogę dostać za 131pkt w Beniamini 2.

[rafal9541]

Witam, proszę o rozpisanie sposobu rozwiązania tych 3 zadań z kangura.

1.Prawidłowe kostki do gry (tzn.takie że suma oczek na każdych dwóch przeciwległych ścianach jest równa 7) układamy w rzędzie, stykając ze sobą ściany o równej liczbie oczek. Ilu kostek powinniśmy użyć, aby syma oczek na wszystkich ścianach powstałego w ten sposób prostpadłościanu była równa 2012?

2.Jaka jest najmniejsza możliwa miara kąta w trójkącie równoramiennym, który ma tę własność, że pewna jego środkowa dzieli go na dwa trójkąty równoramienne?

3.Dla liczby rzeczywistej x oznaczmy przez [x] największą liczbę całkowitą n, taką że n le x. Niech {x}=x-[x]. Jeżeli x jest taką liczbą, że {x}*[x]=100, to ile jest równe[ x^{2}]- [x]^{2}?

[Panda]

3. \(\displaystyle{ [x^{2}] = [([x] + \{x\})^{2}]= [ [x]^2 + 2[x]\{x\} + \{x\}^2 ] = [x]^2 + 200 + [\{x\}^2] = [x]^2 + 200}\)
Przedostatnia równość wynika z tego, że te składniki są całkowite, więc je można wyjąć z cechy.