LXII OM - finał

[SaxoN]

Właśnie, słyszałem, że Swistak dostał za to zadanie Drugą Nagrodę SaXoNa.

Właśnie Swistak, chciałem pogratulować Ci otrzymania drugiej nagrody mojego imienia o_O Chociaż nie bardzo wiem o co chodzi, ale możesz się czuć zaszczycony ^^

[Swistak]

Nie znasz nagród swojego imienia? Pierwsza Nagroda SaxoNa jest za największa pałę, jaką się da (została ustanowiona po rozwiązaniu przez Ciebie jakiegoś trywialnego geometrycznego zadania za pomocą jakiejś superpały), a Druga Nagroda SaxoNa jest za przewidzenie treści zadania finałowego (inspirowane nierównością geometryczną idącą z Karamaty). Ja w tym roku przygotowując się do finału, studiowałem Kącik przestrzenny w Delcie i dowiedziałem się tam o czymś takim jak sfera dwunastu punktów (było to w ostatni poniedziałek - 3 dni przed drugim dniem zawodów). Próbując samemu dowieść jej istnienia przypomniał mi się jak na mecz matematyczny mojego gimnazjum (na którym byłem kadrą w tym roku) daliśmy zadanie, aby udowodnić, że odbicia ortocentrum leżą na okręgu opisanym. Rozwiązanie przedstawione podczas meczu bardzo nas zaskoczyło, bo zamiast trywialnego rachunku na kątach ujrzeliśmy skorzystanie z faktu, że okrąg dziewięciu punktów jest jednokładny w skali 1:2 o środku w ortocentrum trójkąta, do okręgu opisanego na nim. Postanowiłem zastosować analogiczną sztuczkę tutaj i stwierdziłem, że jakby udowodnić, że te 2 odcinki, o które chodzi w zadaniu, byłyby w stosunku 2:1, to udowodniłbym, że 8 z tych 12 punktów leży na 1 sferze.
No i przychodzi czas zawodów. Pierwsze spojrzenie - o, jest stereometria! Przeczytałem ją i myślę: "O kurde! To ten fakt, o którym myślałem w poniedziałek! Nie udowodniłem go, ale tutaj przecież mogę skorzystać z tego, że sfera dwunastu punktów istnieje!". Od razu wziąłem czystopis, no i miałem spisane po jakichś 15 minutach od początku ; p.
Żeby się zabezpieczyć przed jakimiś ewentualnymi pomówieniami, to powiem, że nad udowodnieniem tamtego faktu w poniedziałek nie myślałem ani chwili i podałem odnośnik do dowodu, że sfera 12 punktów istnieje.