Dowód hipotezy Collatza, fałszywy?

[Damian76]

Wykazane zostało że liczby nieparzyste \(\displaystyle{ N=6n-1}\) pomnożone przez \(\displaystyle{ 2}\) dają węzeł \(\displaystyle{ 2c_{n}=w_{m}}\) jak również liczby nieparzyste \(\displaystyle{ N=6n-5}\) pomnożone przez \(\displaystyle{ 4}\) dają węzeł \(\displaystyle{ 4c_{n}=w_{m}}\). (Wcześniej nie braliśmy liczby \(\displaystyle{ 1}\) pod uwagę więc drugi wzór miał postać \(\displaystyle{ N=6n+1}\), sens wzoru się nie zmienił tylko wyraz pierwszy)

Mnożąc konkretną liczbę nieparzystą \(\displaystyle{ c_{n}}\) przez \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ 4}\) otrzymamy konkretny węzeł \(\displaystyle{ w_{m}}\) który po podzieleniu da konkretną liczbę nieparzystą \(\displaystyle{ c_{1}}\).

\(\displaystyle{ c_{n}}\) jest taką liczbą nieparzystą że pomiędzy nią a \(\displaystyle{ c_{1}}\) nie występuje już w ciągu inna liczba nieparzysta. Mamy więc tylko dwa przypadki:

1. \(\displaystyle{ ...,c_{n},2c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},...}\) dla \(\displaystyle{ c_{n}=6n+1}\)

2. \(\displaystyle{ ...,c_{n},2c_{n},4c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},...}\) dla \(\displaystyle{ c_{n}=6n-5}\)

Udało mi się wykazać (zostało sprawdzone i potwierdzone) że trywialna pętla może wystąpić tylko dla nieparzystej liczby \(\displaystyle{ 1}\) która to jest drugim przypadkiem:

\(\displaystyle{ ...,c_{1},2c_{1},4c_{1}=3c_{1}+1,c_{1},...}\)

stąd dla trywialnych pętli otrzymujemy \(\displaystyle{ c_{n}=c_{1}}\).

[matemix]

\(\displaystyle{ c_{n}}\) jest taką liczbą nieparzystą że pomiędzy nią a \(\displaystyle{ c_{1}}\) nie występuje już w ciągu inna liczba nieparzysta.

Ok. Nie wspominałeś chyba wcześniej o tym założeniu. To oznacza, że \(\displaystyle{ c_{n}}\) niekoniecznie będzie równe \(\displaystyle{ 1,5 \cdot c_{1}+0,5}\)

Mamy więc tylko dwa przypadki:

1. \(\displaystyle{ ...,c_{n},2c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},...}\) dla \(\displaystyle{ c_{n}=6n+1}\)

2. \(\displaystyle{ ...,c_{n},2c_{n},4c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},...}\) dla \(\displaystyle{ c_{n}=6n-5}\)

Udało mi się wykazać (zostało sprawdzone i potwierdzone) że trywialna pętla może wystąpić tylko dla nieparzystej liczby \(\displaystyle{ 1}\) która to jest drugim przypadkiem:

\(\displaystyle{ ...,c_{1},2c_{1},4c_{1}=3c_{1}+1,c_{1},...}\)

Zgadza się, jeżeli rozważamy tylko pętle o długości iteracji \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ 3}\). Co z pozostałymi przypadkami (gdy iteracji wykonamy więcej), których jest nieskończenie wiele? Kto sprawdził i potwierdził, że trywialna pętla może wystąpić tylko dla nieparzystej liczby \(\displaystyle{ 1}\)?

[Damian76]

Pierwszą część pracy przeczytano na Uniwersytecie Warszawskim. Bez zgody nie mogę podać nazwiska. W kilku mailach udało mi się pracę obronić, ale okazało się że udowadnia ona brak możliwości wystąpienia tylko pętli trywialnych. Stąd druga część pracy mająca wykazać brak pętli dłuższych niż tylko z jedną liczbą nieparzystą. Po przeczytaniu tej części uznano, cytuję "Mam świadomość, iż nie stanowi to dowodu na wadliwość Pańskiego rozumowania, jednak z pewnością jest to silna sugestia, że środki do rozstrzygnięcia hipotezy powinny być bardziej wyrafinowane od tych, z których moim zdaniem Pan korzysta." Stąd największa trudność w znalezieniu choć jednego matematyka który na chwilę założy iż można w prezentowany przeze mnie sposób wyjaśnić problem Collatza. Nigdy nie twierdziłem że jest na 100% poprawna bo bez sprawdzenia przez świat matematyczny nie mogę tego być pewny. O zamieszczenie pracy na tym forum (i dyskusji prowadzonej z Panem) UW odpowiedziało tak; "Mam nadzieję, że w jej efekcie w niedalekim czasie przekona się Pan o subtelnych komplikacjach w problemie Collatza lub też przekona Pan świat matematyki, że w swoim rozwiązaniu udało się Panu te komplikacje uwzględnić.
Uważam iż właśnie te komplikacje udało mi się uwzględnić.

Co z pozostałymi przypadkami (gdy iteracji wykonamy więcej)

Rozpatrywane przeze mnie iteracje są wyrazem ostatnim i pierwszym (Jeśli w pętli można mówić o wyrazie pierwszym i ostatnim) które musiały by wystąpić w dowolnie długiej pętli. Długa pętla to taka w której co najmniej dwie liczby nieparzyste się zapętlają. Prezentowane przeze mnie warunki tyczą się właśnie zależności pomiędzy wyrazem ostatnim i pierwszym takiej pętli. Jeśli te warunki nie są spełnione to nie wystąpi dowolnie długa pętla.

-- 6 sty 2017, o 12:59 --

"Mam świadomość, iż nie stanowi to dowodu na wadliwość Pańskiego rozumowania, jednak z pewnością jest to silna sugestia, że środki do rozstrzygnięcia hipotezy powinny być bardziej wyrafinowane od tych, z których moim zdaniem Pan korzysta."

Jest to nawiązanie (osoby czytającej pracę) do opinii prof Erdosa na temat tego problemu.-- 6 sty 2017, o 13:15 --

iteracje są wyrazem ostatnim i pierwszym

Mam tu na myśli ostatnią liczbę nieparzystą i pierwszą liczbę nieparzystą.

[matemix]

Pierwszą część pracy przeczytano na Uniwersytecie Warszawskim. Bez zgody nie mogę podać nazwiska. W kilku mailach udało mi się pracę obronić, ale okazało się że udowadnia ona brak możliwości wystąpienia tylko pętli trywialnych.

To udało Ci się ją obronić, czy jednak okazało się, że udowadnia ona tylko przypadek pętli trywialnych? Jakie to są pętle trywialne?

Rozpatrywane przeze mnie iteracje są wyrazem ostatnim i pierwszym (Jeśli w pętli można mówić o wyrazie pierwszym i ostatnim) które musiały by wystąpić w dowolnie długiej pętli.

Skoro uważasz, że \(\displaystyle{ c_{n}}\) jest wyrazem pierwszym, a \(\displaystyle{ c_{1}}\) ostatnim dowolnie długiej pętli, to według tych założeń między nimi może być dowolna skończona ilość nieparzystych wyrazów. A przed chwilą twierdziłeś, że:

\(\displaystyle{ c_{n}}\) jest taką liczbą nieparzystą że pomiędzy nią a \(\displaystyle{ c_{1}}\) nie występuje już w ciągu inna liczba nieparzysta.

[Damian76]

To udało Ci się ją obronić, czy jednak okazało się, że udowadnia ona tylko przypadek pętli trywialnych? Jakie to są pętle trywialne?

Obroniłem pierwszą część pracy która wykazuje że trywialne pętle (takie pętle w których tylko jedna liczba nieparzysta się zapętla) oprócz pętli dla liczby nieparzystej \(\displaystyle{ 1}\) nie istnieją. Od osoby sprawdzającej usłyszałem że jest to ok ale jeszcze muszę wykazać czy nie mogą istnieć długie pętle (takie w których co najmniej dwie liczby nieparzyste się zapętlają).
Druga część pracy ma to wykazać. Tak jak zacytowałem, drugą część pracy osoba ta oceniła na podstawie tylko wyników i przyznała iż nie uważa jej za błędną tylko wysoce nieprawdopodobną. (cytując prof Erdosa) Ja jednak nawet nie próbowałem mierzyć się z tym problemem w ogólnie przyjętej formie bo zapewne nie miałbym szans z zawodowymi matematykami. Musiałem znaleźć swoje własne, inne podejście do tego problemu. Stąd pomysł na odwróceniu całego zadania.

W prywatnym mailu prześlę Panu dane osoby z którą rozmawiałem. Jeśli jest pan matematykiem to bez problemu nawiąże Pan z nią kontakt. Rozmowa trwa od pół roku więc nie jestem w stanie w jednym poście wszystkiego opisać.

Skoro uważasz, że jest wyrazem pierwszym, a ostatnim dowolnie długiej pętli, to według tych założeń między nimi może być dowolna skończona ilość nieparzystych wyrazów

Jeśli występuje pętla to wyraz \(\displaystyle{ c_{n}=2k-1}\) jest wyrazem ostatnim a wyraz \(\displaystyle{ c_{1}=2l-1}\) jest wyrazem pierwszym.
Pomiędzy wyrazem \(\displaystyle{ c_{1}}\) a \(\displaystyle{ c_{n}}\) mogłyby występować inne liczby nieparzyste ale pomiędzy \(\displaystyle{ c_{n}}\) a \(\displaystyle{ c_{1}}\) już nie.
Każda dowolnie duża pętla musi się kończyć sekwencją

1. \(\displaystyle{ ...,c_{n},2c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},..}\). dla \(\displaystyle{ c_{n}=6n+1}\)

2. \(\displaystyle{ ...,c_{n},2c_{n},4c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},...}\) dla \(\displaystyle{ c_{n}=6n-5}\)

W poprzednich postach udało mi się wykazać w jaki sposób otrzymujemy \(\displaystyle{ c_{n}}\) i dlaczego po nim nie otrzymamy \(\displaystyle{ c_{1}}\).

[matemix]

To udało Ci się ją obronić, czy jednak okazało się, że udowadnia ona tylko przypadek pętli trywialnych? Jakie to są pętle trywialne?

Obroniłem pierwszą część pracy która wykazuje że trywialne pętle (takie pętle w których tylko jedna liczba nieparzysta się zapętla) oprócz pętli dla liczby nieparzystej \(\displaystyle{ 1}\) nie istnieją. Od osoby sprawdzającej usłyszałem że jest to ok ale jeszcze muszę wykazać czy nie mogą istnieć długie pętle (takie w których co najmniej dwie liczby nieparzyste się zapętlają).

Pierwszą część pracy, z tego co widzę zakończyłeś zdaniem:

Węzły postaci \(\displaystyle{ w_{3n-2}}\) wynoszą kolejno:

\(\displaystyle{ (w_{3n-2} )=(10,28,46,…,6(3n-2)+4,)}\)

-- 7 wrz 2016, o 16:04 --

Oto druga część pracy.

Nie ma tu żadnych wniosków, końca dowodu, podsumowania. O jakiej pierwszej części pracy piszesz?

W prywatnym mailu prześlę Panu dane osoby z którą rozmawiałem. Jeśli jest pan matematykiem to bez problemu nawiąże Pan z nią kontakt. Rozmowa trwa od pół roku więc nie jestem w stanie w jednym poście wszystkiego opisać.

Nie jestem zawodowym matematykiem, zajmuję się tym problem, bo się nim interesuję. Nie ma znaczenia kto czytał i ocenił tę pracę. Znaczenie ma, czy jest poprawna i czy wnosi coś istotnego. Jak na razie nie mogę się doszukać w niej sensu, głównie z uwagi na niejasne definicje i cel pracy. Mamy problem, żeby ustalić czego dotyczy w ogóle ta praca, czym jest wyraz \(\displaystyle{ c_{n}}\), itd. Jeżeli to uda się ustalić, dopiero będzie można ocenić, co praca próbuje udowodnić, czy jest poprawna i czy wnosi coś istotnego. Na pewno nic istotnego nie wnosi spostrzeżenie, że w ciągu nie występują żadne inne trywialne pętle, gdyż trywialna pętla, to taka, w której:

\(\displaystyle{ c_{1}=\frac {3 \cdot c_{1} +1} {2^{x}}}\)

\(\displaystyle{ 2^{x} \cdot c_{1}=3 \cdot c_{1} +1}\)

\(\displaystyle{ 2^{x} =3 + \frac {1}{c_{1}}}\)

Od razu widać, że równanie jest spełnione tylko dla \(\displaystyle{ c_{1}=1}\) i każdy kto nawet dopiero zaczyna zajmować się problemem od razu to zauważy, jest to także powszechnie znany fakt wśród matematyków badających problem. Można to też zapisać w formie dwóch warunków, które zaproponowałeś:

\(\displaystyle{ 2c_{n}=3c_{1}+1 \wedge 4c_{1}=3c_{n}+1}\)

Przy czym zakładamy tu, że \(\displaystyle{ c_{n}=c_{1}}\).

Jeśli występuje pętla to wyraz \(\displaystyle{ c_{n}=2k-1}\) jest wyrazem ostatnim a wyraz \(\displaystyle{ c_{1}=2l-1}\) jest wyrazem pierwszym.
Pomiędzy wyrazem \(\displaystyle{ c_{1}}\) a \(\displaystyle{ c_{n}}\) mogłyby występować inne liczby nieparzyste ale pomiędzy \(\displaystyle{ c_{n}}\) a \(\displaystyle{ c_{1}}\) już nie.

Ok, to mamy tu jasność. Trywialne pętle nie wystąpią, można to udowodnić w dwóch linijkach (jak wyżej), tudzież implikują to dwa warunki, do których doszedłeś, po zapisaniu 2 stron A4. Co z pozostałymi, nietrywialnymi pętlami? Jeżeli masz dowód, że nie mogą wystąpić, przedstaw lub zacytuj go jeszcze raz, bo się pogubiłem.

[Damian76]

Rozpatrujemy możliwość wystąpienia pętli więc wyraz \(\displaystyle{ c_{1}}\) jest wyrazem od którego zaczynamy tworzenie ciągów.
Rozpoczynamy od dowolnej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ c_{1}=2k-1}\). Pierwszym krokiem jest mnożenie przez \(\displaystyle{ 2^x}\). I mamy:

\(\displaystyle{ ...,c_{1},2^xc_{1},...,dowolne \.\ iteracje}\)

Popatrzmy wstecz.
Wiadomo że konkretną liczbę nieparzystą poprzedza tylko i wyłącznie konkretny węzeł, a dokładnie:

\(\displaystyle{ w_{m}=3c_{n}+1}\)

\(\displaystyle{ \frac{w_{m}-1}{3}=c_{n}}\)
Co nam daje:

\(\displaystyle{ ...,w_{m}=3c_{1}+1,c_{1},2^xc_{1},...,dowolne \.\ iteracje}\)

Wiadomo również że wyraz \(\displaystyle{ w_{m}=3c_{1}+1}\) otrzymamy (w jednym lub dwóch krokach) z konkretnej liczby nieparzystej, a dokładnie :

1. \(\displaystyle{ 2c_{x}=w_{m}=6m-1}\)

2. \(\displaystyle{ 4c_{x}=w_{m}=6m-5}\)

Otrzymujemy więc dwie możliwości:

1. \(\displaystyle{ ...,2c_{1},w_{m}=3c_{1}+1,c_{1},2^xc_{1},...,dowolne \.\ iteracje}\)

2. \(\displaystyle{ ...,2c_{1},4c_{1},w_{m}=3c_{1}+1,c_{1},2^xc_{1},...,dowolne \.\ iteracje}\)
Tu już chyba jest oczywiste że wyrazem poprzedzającym \(\displaystyle{ 2c_{1}}\) może być tylko \(\displaystyle{ c_{1}}\) co daje :

1. \(\displaystyle{ ...,c_{1},2c_{1},w_{m}=3c_{1}+1,c_{1},2^xc_{1},...,dowolne \.\ iteracje}\)

2. \(\displaystyle{ ...,c_{1},2c_{1},4c_{1},w_{m}=3c_{1}+1,c_{1},2^xc_{1},...,dowolne \.\ iteracje}\)

Jasnym chyba jest że rozpoczynając od dowolnej liczby nieparzystej wykonując dowolne iteracje nie otrzymamy pętli. Tylko i wyłącznie konkretne iteracje (poprzedzające \(\displaystyle{ c_{1}}\)) mogą doprowadzić do pętli. Wynika stąd że pętle z dwoma liczbami nieparzystymi nie istnieją. Jeśli takie nie istnieją to i pętle gdzie więcej niż dwie liczby nieparzyste się zapętlają też nie istnieją bo jest to warunek dla pętli z dwoma i więcej liczbami nieparzystymi które musiały by się zapętlać.
Bo jeśli więcej niż dwie liczby nieparzyste się zapętlają to te przedstawione w warunkach też muszą się zapętlić a to jest niemożliwe.

[matemix]

Rozpatrujemy możliwość wystąpienia pętli więc wyraz \(\displaystyle{ c_{1}}\) jest wyrazem od którego zaczynamy tworzenie ciągów.
Rozpoczynamy od dowolnej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ c_{1}=2k-1}\). Pierwszym krokiem jest mnożenie przez \(\displaystyle{ 2^x}\). I mamy:

\(\displaystyle{ ...,c_{1},2^xc_{1},...,dowolne \.\ iteracje}\)

Z tego co widzę założyłeś też, że \(\displaystyle{ c_{1}}\) jest najmniejszą liczbą, która się zapętla. Bez tego założenia następne wnioski nie będą prawidziwe.

Popatrzmy wstecz.
Wiadomo że konkretną liczbę nieparzystą poprzedza tylko i wyłącznie konkretny węzeł, a dokładnie:

\(\displaystyle{ w_{m}=3c_{n}+1}\)

\(\displaystyle{ \frac{w_{m}-1}{3}=c_{n}}\)
Co nam daje:

\(\displaystyle{ ...,w_{m}=3c_{1}+1,c_{1},2^xc_{1},...,dowolne \.\ iteracje}\)

Zgadza się.

Wiadomo również że wyraz \(\displaystyle{ w_{m}=3c_{1}+1}\) otrzymamy (w jednym lub dwóch krokach) z konkretnej liczby nieparzystej, a dokładnie:

1. \(\displaystyle{ 2c_{x}=w_{m}=6m-1}\)

2. \(\displaystyle{ 4c_{x}=w_{m}=6m-5}\)

Skoro \(\displaystyle{ w_{m}=6m-1}\) jest nieparzyste, to dlaczego równa się liczbie parzystej \(\displaystyle{ 2c_{x}}\)?

Poza tym jeżeli wyraz \(\displaystyle{ 3c_{1}+1}\) otrzymamy z jakiejś liczby nieparzystej \(\displaystyle{ c_{r}}\):

\(\displaystyle{ ...,c_{r},3c_{1}+1,c_{1},2^xc_{1},...}\)

w dwóch krokach, to mamy pętlę trywialną, co już zostało omówione (w przypadku każdej innej liczby niż \(\displaystyle{ c_{1} = 1}\) po dwóch dzieleniach liczby \(\displaystyle{ 3c_{1}+1}\) otrzymamy liczbę mniejszą niż \(\displaystyle{ c_{1}}\), co jest sprzeczne z założeniem, że \(\displaystyle{ c_{1}}\) to minimum ciągu). Pozostaje możliwość, że otrzymamy go z jakiejś liczby nieparzystej w jednym kroku, konkretnie musi to być zatem liczba \(\displaystyle{ 1,5c_{1}+0,5}\). Skąd jednak wniosek, że \(\displaystyle{ 1,5c_{1}+0,5=2c_{1}}\)?

[Damian76]

Z tego co widzę założyłeś też, że \(\displaystyle{ c_{1}}\) jest najmniejszą liczbą, która się zapętla. Bez tego założenia następne wnioski nie będą prawidziwe.

\(\displaystyle{ c_{1}}\) jest dowolną liczbą nieparzystą od której zaczynamy.

Skoro \(\displaystyle{ w_{m}=6m-1}\) jest nieparzyste

Mój błąd. Miało być:

1. \(\displaystyle{ 2c_{x}=w_{m}}\) gdzie \(\displaystyle{ c_{n}=6m-1}\)
2. \(\displaystyle{ 4c_{x}=w_{m}}\) gdzie \(\displaystyle{ c_{n}=6m-5}\)
bo:
ad.1 Każda liczba nieparzysta postaci \(\displaystyle{ c_{x}=6m-1}\) pomnożona przez \(\displaystyle{ 2}\) da węzeł.
ad.2 Każda liczba nieparzysta postaci \(\displaystyle{ c_{x}=6m-5}\) pomnożona przez \(\displaystyle{ 4}\) da węzeł.
Wyraz \(\displaystyle{ w_{m}}\) jest przecież węzłem i jest zawsze liczbą parzystą.
Jest to w pracy wyjaśnione.

co jest sprzeczne z założeniem, że \(\displaystyle{ c_{1}}\) to minimum ciągu

To nie jest założenie tylko wniosek.

Można po kolejnych iteracjach otrzymać \(\displaystyle{ c_{n}<c_{1}}\) ale w tedy opuścimy przedział od dołu i z takiego \(\displaystyle{ c_{n}}\) nie uzyskamy \(\displaystyle{ c_{1}}\) . Chęć uzyskania znów \(\displaystyle{ c_{1}}\) musi poprzedzić iteracja w której otrzymamy wyraz \(\displaystyle{ c_{n} \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\). Już to wyjaśniliśmy.
Również jeśli otrzymujemy \(\displaystyle{ c_{n}>3c_{1}+1}\) nie otrzymamy wyrazu \(\displaystyle{ c_{1}}\) bez wcześniejszego kroku którym jest wejście wyrazem \(\displaystyle{ c_{n}}\) we wskazany przedział.
Pętlę można usyskać tylko we wskazanym przedziale. Dla \(\displaystyle{ c_{n} \not \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\) możemy uzyskiwać tylko ciągi, nie pętle.-- 7 sty 2017, o 17:15 --Jeśli wciąż nie jest wiadome dlaczego dla \(\displaystyle{ c_{n} \not \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\) nie uzyskamy znów wyrazu \(\displaystyle{ c_{1}}\) nie wchodząc wcześniej do wskazanego przedziału to mogę znów wyjaśnić.

[matemix]

Z tego co widzę założyłeś też, że \(\displaystyle{ c_{1}}\) jest najmniejszą liczbą, która się zapętla. Bez tego założenia następne wnioski nie będą prawidziwe.

\(\displaystyle{ c_{1}}\) jest dowolną liczbą nieparzystą od której zaczynamy.

Ale, czy zakładamy, że w tej pętli to jest najmniejszy nieparzysty wyraz? Jeśli nie, to należy rozpatrzyć także przypadek, gdy przed \(\displaystyle{ 3c_{1}+1}\) mamy \(\displaystyle{ \frac {3c_{1}+1}{2^{x}}}\) dla dowolnie dużego \(\displaystyle{ x}\).

[Damian76]

Ale, czy zakładamy, że w tej pętli to jest najmniejszy nieparzysty wyraz?

Powtarzam. To nie jest założenie tylko wniosek.
Argumenty:
1. Pętla może wystąpić tylko w przedziale dla \(\displaystyle{ c_{n} \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\). Jeśli wyraz \(\displaystyle{ c_{n}}\) nie należy do tego przedziału to iterując w dowolny sposób najpierw musimy otrzymać \(\displaystyle{ c_{n} \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\) a dopiero w kolejnych działaniach możemy próbować uzyskać \(\displaystyle{ c_{1}}\).Iterując w dowolny sposób, każdy otrzymany wyraz nie należący do tego przedziału należy do ciągu lecz ciąg taki się nie zapętli.
2.

Damian76 napisał(a):
Rozpatrujemy możliwość wystąpienia pętli więc wyraz \(\displaystyle{ c_{1}}\) jest wyrazem od którego zaczynamy tworzenie ciągów.
Rozpoczynamy od dowolnej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ c_{1}=2k-1}\) . Pierwszym krokiem jest mnożenie przez \(\displaystyle{ 2^x}\) . I mamy:

\(\displaystyle{ ...,c_{1},2^xc_{1},...,dowolne \.\ iteracje}\)

Z tego co widzę założyłeś też, że \(\displaystyle{ c_{1}}\) jest najmniejszą liczbą, która się zapętla. Bez tego założenia następne wnioski nie będą prawidziwe.

Skąd tu Twój wniosek że zakładam iż \(\displaystyle{ c_{1}}\) jest najmniejszą liczbą, która się zapętla? Jest to przecież pierwszy krok w postępowaniu. Powtórzę dokładniej:
Bierzemy dowolne \(\displaystyle{ c_{1}}\) które jest liczbą nieparzystą. Pierwszym krokiem jest pomnożenie przez \(\displaystyle{ 2}\) i mamy:
\(\displaystyle{ c_{1},2c_{1}}\)
Jeśli wyraz \(\displaystyle{ 2c_{1}}\) jest węzłem to możemy podzielić lub znów pomnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\). Możemy wykonać dowolne iteracje więc można to zapisać tak:
\(\displaystyle{ c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje,...}\)

Wiadomo że konkretną liczbę nieparzystą poprzedza tylko i wyłącznie konkretny węzeł, a dokładnie:
\(\displaystyle{ w_{m}=3c_{n}+1}\)
Co nam daje:
\(\displaystyle{ ...,w_{m}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)
Wiadomo również że wyraz \(\displaystyle{ w_{m}=3c_{1}+1}\) otrzymamy (w jednym lub dwóch krokach) z konkretnej liczby nieparzystej, a dokładnie :

1. \(\displaystyle{ 2c_{x}=w_{m}}\) gdzie \(\displaystyle{ c_{n}=6m-1}\)
2. \(\displaystyle{ 4c_{x}=w_{m}}\) gdzie \(\displaystyle{ c_{n}=6m-5}\)

Otrzymujemy więc dwie możliwości:

1. \(\displaystyle{ ...,2c_{1},w_{m}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)

2. \(\displaystyle{ ...,2c_{1},4c_{1},w_{m}=3c_{1}+1,c_{1},2^xc_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)
Tu już chyba jest oczywiste że wyrazem poprzedzającym \(\displaystyle{ 2c_{1}}\) może być tylko \(\displaystyle{ c_{1}}\) co daje :

1. \(\displaystyle{ ...,c_{1},2c_{1},w_{m}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)

2. \(\displaystyle{ ...,c_{1},2c_{1},4c_{1},w_{m}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)

Jasnym chyba jest że rozpoczynając od dowolnej liczby nieparzystej wykonując dowolne iteracje nie otrzymamy pętli. Tylko i wyłącznie konkretne iteracje (poprzedzające ) mogą doprowadzić do pętli. Wynika stąd że pętle z dwoma liczbami nieparzystymi nie istnieją. Jeśli takie nie istnieją to i pętle gdzie więcej niż dwie liczby nieparzyste się zapętlają też nie istnieją bo jest to warunek dla pętli z dwoma i więcej liczbami nieparzystymi które musiały by się zapętlać.
Bo jeśli więcej niż dwie liczby nieparzyste się zapętlają to te przedstawione w warunkach też muszą się zapętlić a to jest niemożliwe.

Wniosek ogólny:
Każdy otrzymany wyraz ciągu który nie należy do przedziału \(\displaystyle{ c_{n} \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\) nie może wystąpić w pętli (jeśli wciąż nie jest wiadome dlaczego tak jest to mogę znów powtórzyć). Z wyrazów które nie należą do wskazanego przedziału możemy otrzymać ciągi Collatza ale nie utworzą one pętli.

-- 8 sty 2017, o 00:35 --

Jeszcze raz, jakby coś było nie jasne do punktu drugiego:
Biorę dowolną liczbę nieparzystą \(\displaystyle{ c_{1}}\) i rozpoczynam tworzenie ciągu. Otrzymam więc:

\(\displaystyle{ c_{1},2c_{1},..., dowolne\ \ iteracje}\)

Chcąc otrzymać pętlę muszę znów uzyskać wyraz \(\displaystyle{ c_{1}}\).
Ale przecież wiem dokładnie jaki wyraz musi poprzedzać wyraz \(\displaystyle{ c_{1}}\), Jest to dokładnie \(\displaystyle{ 3c_{1}+1}\) więc otrzymam:

\(\displaystyle{ 3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},..., dowolne\ \ iteracje}\)

Wiem też że wyraz \(\displaystyle{ 3c_{1}+1}\) mogę uzyskać tylko z wyrazu \(\displaystyle{ 2c_{1}}\) lub \(\displaystyle{ 2 \cdot 2c_{1}}\) (zależne od poprzedzającej liczby nieparzystej)
Otrzymam wiec dwie możliwości:

1\(\displaystyle{ ...,2c_{1},3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)

2.\(\displaystyle{ ...,2c_{1},4c_{1},3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)

Jasnym jest że biorąc dowolną liczbę nieparzystą i wykonując dowolne iteracje nie uzyskam pętli.

[matemix]

Ale, czy zakładamy, że w tej pętli to jest najmniejszy nieparzysty wyraz?

Powtarzam. To nie jest założenie tylko wniosek.

Jeżeli rozpatrujemy jakąś liczbę wyrazów \(\displaystyle{ c_{k}}\), które występują w określonej kolejności, to tylko od nas zależy, czy uznamy wybrany arbitralnie wyraz \(\displaystyle{ c_{1}}\) za ten najmniejszy, środkowy, największy, czy też w ogóle nie określimy jak duży jest to wyraz względem innych. Nie da się udowodnić, czy wysnuć wniosku, że to akurat \(\displaystyle{ c_{1}}\) jest najmniejszy, gdyż to kwestia założeń, które poczynimy lub nie.

Przyjmuję, więc, że nie było takiego założenia.

Skąd tu Twój wniosek że zakładam iż \(\displaystyle{ c_{1}}\) jest najmniejszą liczbą, która się zapętla? Jest to przecież pierwszy krok w postępowaniu. Powtórzę dokładniej:
Bierzemy dowolne \(\displaystyle{ c_{1}}\) które jest liczbą nieparzystą. Pierwszym krokiem jest pomnożenie przez \(\displaystyle{ 2}\) i mamy:
\(\displaystyle{ c_{1},2c_{1}}\)
Jeśli wyraz \(\displaystyle{ 2c_{1}}\) jest węzłem to możemy podzielić lub znów pomnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\). Możemy wykonać dowolne iteracje więc można to zapisać tak:
\(\displaystyle{ c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje,...}\)

Akurat prawa strona od wyrazu \(\displaystyle{ c_{1}}\) się zgadza.

Jeszcze raz, jakby coś było nie jasne do punktu drugiego:
Biorę dowolną liczbę nieparzystą \(\displaystyle{ c_{1}}\) i rozpoczynam tworzenie ciągu. Otrzymam więc:

\(\displaystyle{ c_{1},2c_{1},..., dowolne\ \ iteracje}\)

Chcąc otrzymać pętlę muszę znów uzyskać wyraz \(\displaystyle{ c_{1}}\).
Ale przecież wiem dokładnie jaki wyraz musi poprzedzać wyraz \(\displaystyle{ c_{1}}\), Jest to dokładnie \(\displaystyle{ 3c_{1}+1}\) więc otrzymam:

\(\displaystyle{ 3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},..., dowolne\ \ iteracje}\)

Do tego momentu wszystko się zgadza.

Wiem też że wyraz \(\displaystyle{ 3c_{1}+1}\) mogę uzyskać tylko z wyrazu \(\displaystyle{ 2c_{1}}\) lub \(\displaystyle{ 2 \cdot 2c_{1}}\) (zależne od poprzedzającej liczby nieparzystej)

Skąd to wiesz?

[Damian76]

Skąd to wiesz?

Wyraz \(\displaystyle{ c_{n} \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\). Musi tak być jeśli chcemy uzyskać znów wyraz \(\displaystyle{ c_{1}}\), (dlaczego tak jest to już wiemy). Mamy więc dwa przypadki:

1. \(\displaystyle{ ...,c_{n},2c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)

2. \(\displaystyle{ ...c_{n},2c_{n},4c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)

ad. 1. Mamy: \(\displaystyle{ 3c_{1}+1>\frac{3c_{1}+1}{2}=c_{n}>c_{1}}\) więc wyraz \(\displaystyle{ c_{n}}\) wciąż należy do przedziału \(\displaystyle{ c_{n} \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\), możemy więc próbować uzyskać wyraz \(\displaystyle{ c_{1}}\).Jasnym jest że wciąż zachodzi \(\displaystyle{ c_{n}>c_{1}}\). Wiemy że wyraz \(\displaystyle{ c_{n}}\) poprzedza węzeł postaci \(\displaystyle{ 3c_{n-1}+1}\). lecz to nam daje :

\(\displaystyle{ 3c_{n-1}+1>3c_{1}+1}\)

jesteśmy więc poza przedziałem i musimy kolejnymi iteracjami szukać innego \(\displaystyle{ c_{n} \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\).
Jeśli \(\displaystyle{ c_{n} \neq c_{1}}\) to z takiego wyrazu nie otrzymamy znów \(\displaystyle{ c_{1}}\).

ad. 2. Mamy \(\displaystyle{ \frac{3c_{1}+1}{4}=c_{n}}\). A to daje \(\displaystyle{ c_{n}<c_{1}}\) i znów poza przedziałem więc musimy wykonać iteracje w których otrzymamy inne \(\displaystyle{ c_{n} \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\) . Jeśli \(\displaystyle{ c_{n} \neq c_{1}}\) to z takiego wyrazu nie otrzymamy znów \(\displaystyle{ c_{1}}\).

[matemix]

Skąd to wiesz?

Wyraz \(\displaystyle{ c_{n} \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\). Musi tak być jeśli chcemy uzyskać znów wyraz \(\displaystyle{ c_{1}}\), (dlaczego tak jest to już wiemy).

Ja tego nie wiem i moim zdaniem nie musi tak być. Jeśli \(\displaystyle{ c_{n}}\) to jakaś liczba nieparzysta, która jest przed \(\displaystyle{ c_{1}}\), to nie tylko mamy te dwa przypapdki:

Mamy więc dwa przypadki:

1. \(\displaystyle{ ...,c_{n},2c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)

2. \(\displaystyle{ ...c_{n},2c_{n},4c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)

ale też:

\(\displaystyle{ ...c_{n},2c_{n},4c_{n},8c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)

\(\displaystyle{ ...c_{n},2c_{n},4c_{n},8c_{n},16c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)

i tak dalej.

ad. 1. Mamy: \(\displaystyle{ 3c_{1}+1>\frac{3c_{1}+1}{2}=c_{n}>c_{1}}\) więc wyraz \(\displaystyle{ c_{n}}\) wciąż należy do przedziału \(\displaystyle{ c_{n} \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\), możemy więc próbować uzyskać wyraz \(\displaystyle{ c_{1}}\).Jasnym jest że wciąż zachodzi \(\displaystyle{ c_{n}>c_{1}}\). Wiemy że wyraz \(\displaystyle{ c_{n}}\) poprzedza węzeł postaci \(\displaystyle{ 3c_{n-1}+1}\). lecz to nam daje :

\(\displaystyle{ 3c_{n-1}+1>3c_{1}+1}\)

jesteśmy więc poza przedziałem i musimy kolejnymi iteracjami szukać innego \(\displaystyle{ c_{n} \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\).

No i co z tym szukaniem? Skąd pewność, że jak poszukamy, to nie otrzymamy znów \(\displaystyle{ c_{1}}\)?

Jeśli \(\displaystyle{ c_{n} \neq c_{1}}\) to z takiego wyrazu nie otrzymamy znów \(\displaystyle{ c_{1}}\).

Skąd taka pewność?

ad. 2. Mamy \(\displaystyle{ \frac{3c_{1}+1}{4}=c_{n}}\). A to daje \(\displaystyle{ c_{n}<c_{1}}\) i znów poza przedziałem więc musimy wykonać iteracje w których otrzymamy inne \(\displaystyle{ c_{n} \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\) .

Jak wyżej. Co z tymi iteracjami, w których otrzymamy inne \(\displaystyle{ c_{n}}\)? Skąd pewność, że jak poszukamy, to nie otrzymamy w końcu znów \(\displaystyle{ c_{1}}\) (a przed \(\displaystyle{ c_{1}}\) kilka różnych wyrazów \(\displaystyle{ c_{k}}\))?

Jeśli \(\displaystyle{ c_{n} \neq c_{1}}\) to z takiego wyrazu nie otrzymamy znów \(\displaystyle{ c_{1}}\).

Jak wyżej. Skąd taka pewność?

[Damian76]

ale też: \(\displaystyle{ ...c_{n},2c_{n},4c_{n},8c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)

Może tak być i nie ma w tym nic skomplikowanego.
Powtarzam, Każdy konkretny węzeł otrzyma się z konkretnej liczby nieparzystej. Wyrazy \(\displaystyle{ 3c_{n}+1}\) są węzłami więc \(\displaystyle{ 8c_{n}=3c_{1}+1=w_{m}}\).

Wiadomo również że wyraz \(\displaystyle{ w_{m}=3c_{1}+1}\) otrzymamy (w jednym lub dwóch krokach) z konkretnej liczby nieparzystej, a dokładnie :

1. \(\displaystyle{ 2c_{x}=w_{m}}\) gdzie \(\displaystyle{ c_{x}=6m-1}\)
2. \(\displaystyle{ 4c_{x}=w_{m}\) gdzie \(\displaystyle{ c_{x}=6m-5}\)

(W pierwszej części pracy jest dokładnie wyjaśniona budowa węzłów)
Istnieje więc też taka iteracja że wyraz \(\displaystyle{ 8c_{n}}\) uzyska się również z liczby nieparzystej \(\displaystyle{ c_{x}=6m-1}\) lub \(\displaystyle{ c_{x}=6m-5}\) i jest :
\(\displaystyle{ ...c_{x},2c_{x}=8c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\) lub
\(\displaystyle{ ...,c_{x}2c_{x},4c_{x}=8c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne \ \ iteracje}\)
(Napisanie elaboratu daje mi tą wiedzę)
Można tworzyć dowolnie skomplikowane iteracje ale każdą można sprowadzić do przedstawionych dwóch przypadków:

1. ...,c_{n},2c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne iteracje

2. ...c_{n},2c_{n},4c_{n}=3c_{1}+1,c_{1},2c_{1},...,dowolne iteracje

Wyraz \(\displaystyle{ c_{n} \in \left( c_{1},3c_{1}+1\right)}\). Musi tak być jeśli chcemy uzyskać znów wyraz \(\displaystyle{ c_{1}}\), (dlaczego tak jest to już wiemy).

Ja tego nie wiem i moim zdaniem nie musi tak być. Jeśli \(\displaystyle{ c_{n}}\) to jakaś liczba nieparzysta, która jest przed \(\displaystyle{ c_{1}}\), to nie tylko mamy te dwa przypapdki:

No i co z tym szukaniem? Skąd pewność, że jak poszukamy, to nie otrzymamy znów \(\displaystyle{ c_{1}}\)?

Jeśli wciąż to nie jest wiadome to po pracy wyjaśnię jeszcze raz skąd moja pewność