[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

[arek1357]

Czyli mój dowód w takim razie stał się aktualny

[bosa_Nike]

@WolfusA:    

No właśnie przy przyjętym przez Ciebie porządku zmiennych prawa strona będzie niedodatnia. Efektywnym podejściem będzie badanie monotoniczności względem najmniejszej zmiennej - to na pewno zadziała, a poza tym unikamy rozbudowanej bajki z uzasadnianiem. Spróbuj w ten sposób. No i równość w ogólności zachodzi także w innych przypadkach, więc nie wtw.

[Premislav]

@arek1357: ja błędu nie widzę, proponuję, żebyś wrzucił nowe zadanie.

[arek1357]

Najpierw może ktoś mi to wytłumaczy:

No właśnie przy przyjętym przez Ciebie porządku zmiennych prawa strona będzie niedodatnia. Efektywnym podejściem będzie badanie monotoniczności względem najmniejszej zmiennej - to na pewno zadziała, a poza tym unikamy rozbudowanej bajki z uzasadnianiem. Spróbuj w ten sposób. No i równość w ogólności zachodzi także w innych przypadkach,

Nie ma to jak jasne i przejrzyste wypowiedzi...

Tu na forum przydałby się tłumacz tekstów pewnej osoby na język powszechnie zrozumiały...


zadaje i nie będę złośliwy , zresztą nigdy nie jestem...:

\(\displaystyle{ x,y,z \ge 0 , x+y+z=1}\)

udowodnij, że:

\(\displaystyle{ \sqrt{x+y^2} +\sqrt{y+z^2}+ \sqrt{z+x^2} \ge 2}\)

[bosa_Nike]

Akurat fakt, że Ty czegoś nie rozumiesz, zwłaszcza o pewnych porach, nieszczególnie mnie dziwi. Żadna część zacytowanej wypowiedzi nie była skierowana do Ciebie, więc się tym razem nie stresuj.

Bieżące, podpowiedź:    

Nierówność jest cykliczna, więc wystarczy wybrać np. \(\displaystyle{ x}\) jako największą zmienną i zsumować dwie nierówności:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+y^2}+\sqrt{x+z^2}\ge 1+x}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sqrt{y+z^2}+\sqrt{z+x^2}\ge\sqrt{x+z^2}+1-x}\)
Obie okazują się prawdziwe po zastosowaniu brute force (podnoszenie do kwadratu i kilkukrotne zastosowanie warunku na sumę zmiennych).

[arek1357]

[ciach], o to chodziło więc możesz zadać następne...

Powiem tak: krótki, ładny i przejrzysty dowód...

[bosa_Nike]

Udowodnij, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3}+\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\ge\frac{5\sqrt[3]{4}}{4}\cdot\sqrt[3]{abc}}\)

Określ, kiedy zachodzi równość.

Uwaga:    

Ta nierówność może okazać się trudniejsza niż na I/II etap polskiej olimpiady - jeżeli nie podda się przez dwa tygodnie, to zmienię ją na inną.

[WolfusA]

pomysł:    

Symetryczne cuda z niesymetrycznym warunkiem równości... Po prostu kocham je tak mocno. Odpada Muirhead, AM-GM, Jensen, Newton, Maclaurin i cała reszta świata - aha zapomniałem o Cauchym i Minkowskim i Holderze.
Zapisać w postaci nierówności \(\displaystyle{ uvw}\). Wychodzi równoważnie \(\displaystyle{ f(w)=w^3- \frac{5v^2w}{ \sqrt[3]{16} }+uv^2}\). Licząc \(\displaystyle{ f'(w)=3w^2-\frac{5v^2}{ \sqrt[3]{16} }}\) wnioskujemy, że nierówność wystarczy wykazać dla \(\displaystyle{ w=v \sqrt{ \frac{5}{3 \sqrt[3]{16} } }}\). Nasza nierówność to \(\displaystyle{ f\left(v \sqrt{ \frac{5}{3 \sqrt[3]{16} } }\right)\ge 0\iff u\ge v \sqrt{ \frac{125}{108} }}\). Może by tak teraz uzasadnić jakimś pseudo-twierdzeniem Tejsa, że wystarczy rozpatrzeć przypadek równości dla dwóch zmiennych, np. \(\displaystyle{ c=b}\). A tak można postępować, jako że ustaliliśmy niejako wielkości \(\displaystyle{ w^3,v^2}\), zaś wyrażenie \(\displaystyle{ u}\) osiąga minimum tylko przy dwóch zmiennych równych. I teraz \(\displaystyle{ w=v \sqrt{ \frac{5}{3 \sqrt[3]{16} } }\iff 125b^6+750ab^5+1000a^3b^3=10164a^2b^4\iff 125 t^3+750t^2+1000-10164t=0}\)
gdzie \(\displaystyle{ t=b/a}\)
Z kolei my mamy udowodnić \(\displaystyle{ 19t^2-106t+36\ge 0}\).
Coś się posypało, bo te wielomiany nie mają wspólnych pierwiastków... Tejs pozdrawia.

[arek1357]

WolfusA wydaje się poszedł dobrą drogą , ja zapisałem to podobnie a mianowicie:

\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} + \frac{3ab}{ab+ac+bc} \ge \frac{5 \sqrt[3]{4} }{4} \sqrt[3]{abc}/c}\)

\(\displaystyle{ u= \frac{a}{c} , w= \frac{b}{c}}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}\left( u+w+1\right)+ \frac{3uw}{uw+u+w} \ge \frac{5 \sqrt[3]{4} }{4} \sqrt[3]{uw}/\sqrt[3]{uw}/ \cdot 3}\)

potem kolejne podstawienie:

\(\displaystyle{ u+w=x'}\)

\(\displaystyle{ uw=y'}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{x'+1}{ \sqrt[3]{y'} }+ \frac{9 \sqrt[3]{y'^2} }{x'+y'} \ge \frac{15 \sqrt[3]{4} }{4}}\)

podstawiając:

\(\displaystyle{ x'=x, y'=y^3}\)

mamy do wykazania:

\(\displaystyle{ \frac{x+1}{y} + \frac{9y^2}{x+y^3} \ge \frac{15 \sqrt[3]{4} }{4}}\)

mamy funkcję:

\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x+1}{y} + \frac{9y^2}{x+y^3}}\)

\(\displaystyle{ f'_{|x}= \frac{1}{y} - \frac{9y^2}{(x+y^3)^2}}\)

\(\displaystyle{ f'_{|y}= \frac{18y}{x+y^3}- \frac{x+1}{y^2}- \frac{27y^4}{(x+y^3)^2}}\)

Męcząc się i jęcząc jesteśmy w stanie wyliczyć miejsca zerowe i określić extremum tego czegoś...

Rozwiązanie tego układu równań jest stosunkowo łatwe...

Gdzie minimum tej funkcji będzie:

\(\displaystyle{ \frac{15 \sqrt[3]{4} }{4}}\)

Gwoli ścisłości otrzymamy z tego układu równań dwa rozwiązania:

\(\displaystyle{ (x,y)=\left( \frac{5}{4}, \frac{ \sqrt[3]{2} }{2} \right)}\)

I tu będzie minimum, ale jeszcze otrzymamy:

\(\displaystyle{ (x,y)=(2,1)}\)

ale:

\(\displaystyle{ f(2,1)=6> \frac{15 \sqrt[3]{4} }{4}}\)

Możemy oczywiście zawęzić obszar zakładając na początku, że:

\(\displaystyle{ a \le b \le c}\)

znaczy, że:

\(\displaystyle{ 0 \le u,w \le 1}\)

a skoro:

\(\displaystyle{ x= x'=u+w \le 2}\)

\(\displaystyle{ 0\le y'=uw \le 1}\)

też będzie:

\(\displaystyle{ 0\le y \le 1}\)

\(\displaystyle{ x \in \left\langle 0;2\right\rangle ,y \in \left\langle 0;1\right\rangle}\)

Minimum w tym obszarze jest dla:

\(\displaystyle{ \left( x,y\right)=\left( \frac{5}{4}, \frac{ \sqrt[3]{2} }{2} \right)}\)

Wynosi właśnie:

\(\displaystyle{ \frac{15 \sqrt[3]{4} }{4}}\)

...

Cała heca na tym polega , że globalne minimum tej funkcji jest równe zero lecz trzeba było się zafiksować na lokalnym minimum ustalając:
\(\displaystyle{ a \le b \le c}\)

bo:

ustalając x:

\(\displaystyle{ \lim_{y\to\infty} f(x,y)= \infty}\)

Symetryczne cuda z niesymetrycznym warunkiem równości... Po prostu kocham je tak mocno. Odpada Muirhead, AM-GM, Jensen, Newton, Maclaurin i cała reszta świata - aha zapomniałem o Cauchym i Minkowskim i Holderze.

Sorki z całym szacunkiem dla świetnego przedmówcy ale mimo szczerych chęci tej miłości nie rozumiem...

[WolfusA]

A skąd to minimum? Lagrange?
Miłość to był sarkazm. Nie cierpię...

[arek1357]

Minimum obliczyłem z pochodnych ...

[bosa_Nike]

@WolfusA - Pomysł z szukaniem uzasadnienia, że wystarczy rozważyć przypadek, gdzie dwie zmienne są równe, jest dobry. Ale, szczerze mówiąc, nigdy się nie spotkałam z innym wykorzystaniem \(\displaystyle{ uvw}\) niż w wersji z wielomianem względem \(\displaystyle{ u,v^2,w^3}\). Nie widzę też w tej chwili łatwego uzasadnienia dla innego (niż przed chwilą wspomniane) użycia - np. podstawienie zwiększy nam stopień wyrażenia poza granicę stosowalności twierdzeń tej metody. Jeżeli możesz wyprowadzić mnie z błędu, to poproszę. Dostrzegam Twoją rezerwę wobec \(\displaystyle{ uvw}\). Wątpliwości nie pozostawi metoda zbliżeń z zachowaniem stałego iloczynu zmiennych, czyli ustalenie porządku i zastąpienie dwóch (tzn. w tym przypadku największej i "środkowej") ze zmiennych przez ich średnie geometryczne.

@arek1357 - Rozwiązanie jest poprawne, możesz zamieścić swoje zadanie.

[arek1357]

zadaje takie tam:

Z: \(\displaystyle{ a,b,c \ge 0}\),

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=3}\)

T: \(\displaystyle{ \sqrt{2+7ab} +\sqrt{2+7ac} +\sqrt{2+7bc} \ge 3\sqrt{3\left( ab+ac+bc\right) }}\)

[Premislav]

Podbijam.

[arek1357]

Co?