VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

[sogart]

Ze wzorów Viete'a ułożyłem sobie 4 równania i z nich doszedłem do tezy.

[enigm32]

ale jak zrobiles 1 ?

Ja na konkursie pierwsze robiłem ze wzorów Viete'a.
Wychodziło też z napisania postaci ogólnej tego równania i przyrównania współczynników.
A w domu wykombinowałem jeszcze jeden sposó, chyba najkrótszy, z wykorzystaniem tw. łączącego pochodne z krotnością pierwiastka: w tym wypadku pierwiastek dwukrotny jest pierwiastkeim pojedynczym pierwszej pochodnej.

[kolanko]

kurde robilem vieta i nic :/ mozesz podac rozwiazanie ogolnikowo ?

[sogart]

Masz, z Viete'a, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x _{1} + x _{2} + x _{3} = 0\\x ^{2}_{1} + 2x_{1}(x _{3}+ x_{4})+x _{3} x _{4} = 0\\-a= x^{2} _{1}(x _{3}+x _{4})+2x _{1}x _{2}x _{3}\\b=x^{2}_{1}x _{3}x _{4}\end{cases}}\)
Wyliczasz z pierwszego \(\displaystyle{ x _{3}+x _{4}}\) wstawiasz do równania 2 i 3. Wtedy policzysz z 2 ile wynosi \(\displaystyle{ x _{3}x _{4}}\) wstawisz ten wynik do równania 3 i 4 później podniesiesz te równanie 3 i 4 do odpowiendnich potęg aby obliczyć a w zależności od b.

[enigm32]

Np. w taki sposób:
Niech \(\displaystyle{ x_1=x_2=p}\) - pierwiastek dwukrotny (bede od razu podstawiał do wzorów Viete'a)
\(\displaystyle{ \begin{cases} p+p+x_3+x_4=0 \Rightarrow x_3+x_4=-2p\\
p^2+2px_3+2px_4+x_3x_4=0\\
p^2x_3+p^2x_4+2px_3x_4=-a\\
p^2x_3x_4=b \Rightarrow x+3x_4=\frac{b}{p^2} \end{cases}}\)
w ostatniej linijce założenia, drobny komentarz przy dzieleniu przez pierwiastek dwukrotny
Z1. i 4. równania podstawiam do dwóch pozostałych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} p^2+2p(-2p)+\frac{b}{p^2}=0\\
p^2(-2p)+2p\frac{b}{p^2}=-a\end{cases}}\)
Po przekształceniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=3p^4\\
a=-4p^3\end{cases} \\
\begin{cases} 256b^3=27*256p^{12}\\
27a^4=27*256p^{12}\end{cases}}\)

[kolanko]

dzieki .. fajne rozwiazania napisalem te viety na poczatku ale pozniej robilem calkowicie inaczej ... i sie zgubilem ..

[Bajuskaut]

Hej!
Wie ktoś może ile miał punktów zwycięzca rejonu rzeszowskiego na II poziomie??

[Flesiu]

jeśli chodzi o rejon rzeszowski IV LO to zwyciezca miał 29 pkt
a 4 miejsce to bylo 23 pkt
poziom drugi oczywiscie

[Bajuskaut]

Dzięki
A ile pkt miało miejsce 2 i 3
na drugim poziomie w IV LO?

[Flesiu]

nie wiem bo mój nauczyciel podał tylko wyniki osób z naszej szkoły i miejsca a tych między nie miał napisanych i nie wiadomo ile osob było na tych miejscach, bo o ile 29 pkt miałem tylko ja to np 23 miało 2 osoby z naszej szkoły

[Bajuskaut]

aha
Ja miałem 26 ale pisałem w ZS elektronicznych i chce się dowiedzieć jak to wygląda na tle całego rejonu rzeszowskiego. W każdym razie dzięki za pomoc

[Flesiu]

a wiesz jak wygląda sytuacja w ZSE??

[Bajuskaut]

Ja miałem I z 26 punktami
a II miejsce miało 23 pkt.
Dalej nie mam pojęcia jak to się rozkładało.

[GRZECH]

W stalowowolskim (o ile się tak nazywa) jedna osoba miała maksa.
Co najmniej dwie osoby (w tym ja ) miały 29 pkt. Nie wiem jak dalej.

[pDzonY]

w rejonie krośnieńskim 2 osoby miały po 29 pkt.
ja miałem 21 pkt. i było to dopiero gdzieś około 8 miejsca ;/
to tak na wypadek gdyby ktoś pytał