Matematyka.pl

Odbijamy środek okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) względem prostej \(\displaystyle{ EF}\), prosty rachunek na kątach dowodzi, że jest to nasz szukany punkt.

Nie mogę zrozumieć dlaczego \(\displaystyle{ k=n}\) dla parzystego.
Weźmy np. \(\displaystyle{ n=4}\). Bez problemu jestem w stanie znaleźć taką kombonację zbiorów, żeby nie dało się znaleźć części wspólnej o parzystej liczbie wyrazów (jeżeli \(\displaystyle{ k=n}\)).

No na przykład:
12
13
14
23

Ja rozważałem dla ułatwienia takie maksymalne k' ,że istnieje k' takich podzbiorów o parzystej ilości elementów, a część wspólna dowolnych dwóch jest nie parzysta. Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ k=k'+1}\)(bo jak dodamy jeszcze jeden podzbiór o parzystej ilości elementów to nie może on spełniać tego warunku bo k' jest maksymalne). Na początku rozważmy przypadek, gdy n jest nieparzyste. Przez podanie przykładu mamy \(\displaystyle{ n \le k'}\). Powiedzmy, że mamy \(\displaystyle{ k'}\) takich podzbiorów Oznaczmy je przez \(\displaystyle{ A _{1} A_{2},A_{3}, ..., A_{k'-1},A_{k'}}\) i teraz przez rozkład zbioru \(\displaystyle{ X}\) nazywam taki uporządkowany zestaw \(\displaystyle{ k'}\) liczb ,że i-ta liczba oznacza resztę z dzielenia przez 2 liczby\(\displaystyle{ \left| X \cap A_{i}\right|}\). Sumą rozkładów zbiorów nazywamy taki uporządkowany zestaw \(\displaystyle{ k'}\) liczby ,że i-ta liczba jest resztą z dzielenia przez 2 sumy i-tych liczb w tych rozkładach zbiorów. Łatwo zauważyć, że suma rozkładów dwóch zbiorów jest równa rozkładowi pewnego zbioru(bo liczymy dwa razy elementy wspólne sumowanych zbiorów). Zauważmy, że z warunku rozważanych podzbiorów mamy określony rozkład każdego z podzbiorów. rozkład zbioru \(\displaystyle{ A_{i}}\) to są same jedynki oprócz i-tej liczby równej 0.Dla k' parzystego otrzymuje sprzeczność, bo suma rozkładów tych wszystkich podzbiorów to są same jedynki, a to oznacza, że istnieje jeszcze jeden podzbiór, który mogą dołączyć i będzie spełniać warunki(korzystam też z tego ,że zbiór i dopełnienie zbioru mają ten sam rozkład, a mają o różnej parzystości ilość elementów). Od tego momentu to już z górki, bo rozważamy wszystkie możliwe do otrzymania różne rozkłady przez sumowanie rozkładów zbiorów \(\displaystyle{ A_{i}}\).Jest ich \(\displaystyle{ 2 ^{k'-1}}\). Porównuje to z ilość różnych rozkładów wszystkich możliwych zbiorów których jest nie więcej niż \(\displaystyle{ 2 ^{n-1}}\)(dla każdego rozkładu istnieją co najmniej dwa różne zbiory o takim samym rozkładzie). Okazuje że tych drugich musi być więcej, bo każdy otrzymany rozkład w pierwszym przypadku musi pojawić się w drugim, czyli mamy, że \(\displaystyle{ 2^{n-1} \ge 2^{k'-1} \Leftrightarrow n \ge k'}\) Z tąd otrzymuje,że \(\displaystyle{ n=k'}\). Przypadek parzystego n wychodzi z tego, że każdy podzbiór można zamienić na dopełnienie i wszystkie parzystości są takie same.